Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.

Để phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) có hai nghiệm dương thì:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) \ge 0\\ - 2\left( {m - 3} \right) > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - m + 1 \ge 0\\m - 3 < 0\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\m < 3\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\\1 < m < 3\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét bất phương trình \({m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\left( 1 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 5m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) - 5\left( {m - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\end{array}\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ge 0\\m - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \le 0\\m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\).

Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\).

Khi đó hệ (*) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\\1 < m < 3\end{array} \right. \Rightarrow 1 < m \le 2\).

Vậy \(1 < m \le 2\).