Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2... + {2^n}C_n^n = 14348907.\) Hệ số có số hạng chứa \({x^{10}}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {{x^2} - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}\) bằng

\( + )\)\(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 14348907\)

Xét: \({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1.x + ... + C_n^n.{x^n}\)

Thay \(x = 2\)\( \Rightarrow \)\({\left( {1 + 2} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1.2 + ... + C_n^n{.2^n}\)\( \Leftrightarrow {3^n} = 14348907\)\( \Leftrightarrow n = 15\)

\( + )\)Số hạng tổng quát của khai triển: \({\left( {{x^2} - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{15}}\)là: \({T_{k + 1}} = C_{15}^k.{\left( {{x^2}} \right)^{15 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {{x^{ - 3}}} \right)^k}\)\( = C_{15}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{30 - 5k}}\)

Số hạng chứa \({x^{10}}\)\( \Rightarrow {x^{30 - 5k}} = {x^{10}}\)\( \Leftrightarrow k = 4\)

\( \Rightarrow \)Hệ số của số hạng chứa \({x^{10}}\)là: \(C_{15}^4.{\left( { - 1} \right)^4} = 1365\).