Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(D\) là trung điểm \(AC.\) Từ \(A\) kẻ đường vuông góc với \(BD,\) cắt \(BC\) tại \(E.\) Chọn đáp án đúng.
-
A.
\(AE = 3DE\)
-
B.
\(AE = \dfrac{3}{2}DE\)
-
C.
\(AE = 2DE\)
-
D.
\(AE = DE\)
- Từ \(C\) dựng đường thẳng vuông góc với \(AC\) cắt \(AE\) tại \(G\). Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(F\) sao cho \(DE = DF\).
- Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta CAG\) (g.c.g).
- Chứng minh \(\Delta DCE = \Delta GCE\,\,(c.g.c)\)
- Chứng minh \(\Delta ADF = \Delta CDE\,\,(c.g.c)\) suy ra \(\widehat {AFD} = \widehat {CED}\) (hai góc tương ứng) suy ra \(AF//EC.\) Lập luận để chứng minh tam giác \(AEF\) cân tại \(E\) từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Từ \(C\) dựng đường thẳng vuông góc với \(AC\) cắt \(AE\) tại \(G\). Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(F\) sao cho \(DE = DF\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(BD.\)
\(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {ABD} + \widehat {ADB} = {90^o}\)
\(\Delta AID\) vuông tại \(I\) nên \(\widehat {DAI} + \widehat {ADI} = {90^o}\)
Mà \(\widehat {ADB} = \widehat {ADI}\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {DAI}\) hay \(\widehat {ABD} = \widehat {CAG}\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta CAG\) có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {ACG} = {90^o}\)
\(AB = CA\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))
\(\widehat {ABD} = \widehat {CAG}\,\,(cmt)\)
\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta CAG\) (g.c.g).
\( \Rightarrow AD = CG\) (hai cạnh tương ứng).
Mà \(AD = CD\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AC\)) nên \(CD = CG\)
\(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {ACB} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{90}^o}}}{2} = {45^o}\) hay \(\widehat {DCE} = {45^o}.\)
Mặt khác \(\widehat {DCE} + \widehat {GCE} = \widehat {DCG}\) \( \Rightarrow \widehat {GCE} = \widehat {DCG} - \widehat {DCE} = {90^o} - {45^o} = {45^o}.\)
Xét \(\Delta DCE\) và \(\Delta GCE\) có:
\(EC\) chung
\(CD = CG\,\,(cmt)\)
\(\widehat {DCE} = \widehat {GCE} = {45^o}\)
\( \Rightarrow \Delta DCE = \Delta GCE\,\,(c.g.c)\)
\( \Rightarrow \widehat {CED} = \widehat {CEG}\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta CDE\) có:
\(AD = CD\) (vì \(D\) là trung điểm \(AC\))
\(DF = DE\,\) (cách dựng)
\(\widehat {ADF} = \widehat {CDE}\) (hai góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta ADF = \Delta CDE\,(c.g.c)\)
\( \Rightarrow \widehat {AFD} = \widehat {CED}\) (hai góc tương ứng) (2)
Mà \(\widehat {AFD}\) và \(\widehat {CED}\) ở vị trí so le trong nên \(AF//EC.\)
Vì \(AF//EC\) nên \(\widehat {GEC} = \widehat {EAF}\) (hai góc đồng vị) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {EAF} = \widehat {EFA}\), tam giác \(AEF\) cân tại \(E\) nên \(AE = EF\) (4)
Mà \(DE = DF\) (theo cách dựng) nên \(EF = 2DE\) (5)
Từ (4) và (5) ta có: \(AE = 2DE\).
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(NPM\) có \(BC = PM;\,\widehat B = \widehat P = 90^\circ \). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác \(ABC\) và tam giác \(NPM\) bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền-cạnh góc vuông ?
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có \(\widehat A = \widehat M = {90^0},\,\widehat C = \widehat P\). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề:
Cho tam gác $ABC$ và tam giác $DEF$ có \(\widehat B = \widehat E = {90^0},\,AC = DF,\,\,\widehat A = \widehat F\). Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là đúng
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác $KHI$ có: \(\widehat A = \widehat K = 90^\circ ;\,AB = KH;\,BC = HI\) . Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng:
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có $AB = DE$ , \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \). Biết $AC = 9cm.$ Độ dài $DF$ là:
Cho tam giác $DEF$ và tam giác $HKI$ có \(\widehat D = \widehat H = 90^\circ \), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK.$ Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc \(I\) là:
Cho hình vẽ sau. Chọn câu đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(AM\) là tia phân giác của góc \(A\). Khi đó, tam giác \(ABC\) là tam giác gì?
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Một đường thẳng \(d\) bất kì luôn đi qua \(A\). Kẻ \(BH\) và \(CK\) vuông góc với đường thẳng \(d.\) Khi đó tổng \(B{H^2} + C{K^2}\) bằng
