Đề bài

Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. Kẻ tiếp tuyến $Ax$, lấy $P$ trên $Ax$ ($AP > R$) Từ $P$ kẻ tiếp tuyến $PM$ với $(O)$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm $A,P,M,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: $BM//OP$. Đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $O$ cắt tia $BM$ tại $N$. Chứng minh tứ giác $OBNP$ là hình bình hành.

c) Giả sử $AN$ cắt $OP$ tại $K;PM$ cắt $ON$ tại $I;PN$ cắt $OM$ tại $J$. Chứng minh $I,J,K$ thẳng hàng.

Phương pháp giải

a) Chứng minh $ \Delta AOP $ nội tiếp đường tròn đường kính $ OP $, nên các điểm $ A, O, P $ thuộc đường tròn đường kính $ OP $

Chứng minh tương tự, các điểm $ M, P, O$ cũng thuộc đường tròn đường kính $ OP $

Suy ra 4 điểm $ A, P, M, O $ cùng thuộc một đường tròn đường kính $ OP $.

b) * Chứng minh $BM // OP$

Chứng minh tam giác $ \Delta PAM $ cân tại $ P $, $ PO $ là đường cao nên $ OP \perp AM $

Chứng minh $ \Delta AMB $ nội tiếp đường tròn $ (O) $ với đường kính $ AB $, nên $ BM \perp AM $

Suy ra $ OP \parallel BM $ (quan hệ từ vuông góc đến song song).

* Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành

Chứng minh $ \Delta AOP = \Delta OBN $ (g.c.g) nên $ OP = BN $.

Từ đó chứng minh $OPBN $ là hình bình hành.

c) Chứng minh $ PJ \parallel AB $ nên $ PJ \perp ON$

Chứng minh $PM \perp OJ$

Từ đó suy ra I là trực tâm và $ IJ $ là đường cao trong tam giác $ \Delta OPJ $ hay $IJ \perp PO$

Chứng minh PAON là hình chữ nhật.

Mà K là giao điểm của hai đường chéo PO và AN nên K là trung điểm của OP.

Chứng minh tam giác $IPO $ cân tại $ I $, nên $ IK \perp OP $ (6).

Suy ra $I, J, K$ thẳng hàng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì $ AP $ là tiếp tuyến của $ (O) $ nên $ PA \perp AO $ suy ra $\angle AOP = 90^\circ $ nên $ \Delta AOP $ nội tiếp đường tròn đường kính $ OP $, nên các điểm $ A, O, P $ thuộc đường tròn đường kính $ OP $ (1).

Chứng minh tương tự, các điểm $ M, P, O$ cũng thuộc đường tròn đường kính $ OP $ (2).

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm $ A, P, M, O $ cùng thuộc một đường tròn đường kính $ OP $.

b) * Chứng minh $BM // OP$

Xét đường tròn $ (O) $, các tiếp tuyến $ PA $ và $ PM $ cắt nhau tại $ P $, nên $ PA = PM $ và $ PO $ là tia phân giác của $ \angle PAM $ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn).

Do đó tam giác $ \Delta PAM $ cân tại $ P $, $ PO $ là đường cao nên $ OP \perp AM $ (3).

Lại có tam giác $ \Delta AMB $ nội tiếp đường tròn $ (O) $ với đường kính $ AB $, nên $ \Delta AMB $ vuông tại $ M $, tức là $ BM \perp AM $ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $ OP \parallel BM $ (quan hệ từ vuông góc đến song song).

* Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành

Vì $ OP \parallel BM $ nên $ \angle AOP = \angle NBO $ (góc đồng vị).

Xét hai tam giác $ \Delta AOP $ và $ \Delta OBN $ có:

$ \angle AOP = \angle NBO $

$ OA = OB = R $

$ \angle POA = \angle NOB = 90^\circ $

Suy ra $ \Delta AOP = \Delta OBN $ (g.c.g) nên $ OP = BN $.

Vì $ OP = BN $ và $ OP \parallel BN $ nên $OPBN $ là hình bình hành.

c) Vì $ OPBN $ là hình bình hành nên $ PJ \parallel AB $.

Theo giả thiết: $ON \perp AB$ mà $ PJ \parallel AB $ nên $ PJ \perp ON$ (quan hệ từ vuông góc đến song song).

Vì PM là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $PM \perp OM$ hay $PM \perp OJ$

Tam giác OPJ có $ PJ \perp ON$, $PM \perp OJ$ và ON cắt PM tại I nên I là trực tâm của tam giác OPJ, do đó $ IJ $ là đường cao trong tam giác $ \Delta OPJ $ hay $IJ \perp PO$ (5).

Xét tứ giác PAON có $\angle PAO = \angle APJ = \angle AON = 90^\circ $ nên PAON là hình chữ nhật.

Mà K là giao điểm của hai đường chéo PO và AN nên K là trung điểm của OP.

Ta có: AP // ON (cùng vuông góc với AB\) nên $\angle APO = \angle PON$ (hai góc ở vị trí so le trong)

Mà $\angle APO = \angle MPO$ (cmt) nên $\angle MPO = \angle NOP = \angle PAO$ hay $\angle IPO = \angle IOP$

Tam giác $IPO $ có $ \angle IPO = \angle IOP $ nên $\Delta IPO$ cân tại $ I $, nên $ IK \perp OP $ (6).

Từ (5) và (6) suy ra $I, J, K$ thẳng hàng.

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một hình vuông. Tỉ số $\dfrac{R}{r}$ là: