Cho đường tròn ${x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0$ và điểm $M\left( {4;1} \right).$  Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và đi qua $M.$

Đường tròn $\left( C \right)$  có tâm $I\left( {1;3} \right)$   và bán kính $R = 2.$

Gọi $d$  là tiếp tuyến cần tìm.

Ta có $d$  đi qua điểm $M\left( {4;1} \right)$  nên phương trình $d$  có 2 dạng.

+) ${d_1}:x = 4$. Khi đó $d\left( {I;d} \right) = \left| {4 - 1} \right| = 3 > R$ nên ${d_1}:x = 4$ không phải là tiếp tuyến.

+) ${d_2}:y = k\left( {x - 4} \right) + 1 \Leftrightarrow kx - y + 1 - 4k = 0$

Vì ${d_2}$  là tiếp tuyến nên ta có

 $d\left( {I;{d_2}} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {k - 3 + 1 - 4k} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + {1^2}} }} = 2$$ \Leftrightarrow 5{k^{^2}} + 12k = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 0}\\{k = \dfrac{{ - 12}}{5}}\end{array}} \right.$

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu đề bài $y = 1$ và $12x + 5y - 53 = 0$