Bài 5 trang 44 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.4 trên 12 phiếu

Giải bài 5 trang 44 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Đề bài

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số

                                   \(y = -x^3+ 3x + 1\).

b) Dựa vào đồ thị \((C)\), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số \(m\).

                                   \(x^3- 3x + m = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.

b) Dựa vào đồ thị hàm số câu a để biện luận số nghiệm của phương trình.

+) Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=a\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\)   với đường thẳng \(y=a.\)

+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.

Lời giải chi tiết

 a) Xét hàm số  \(y = -x^3+ 3x + 1\).

Tập xác định : \(\mathbb R\).

* Sự biến thiên:

Ta có: \(y' = -3x^2+ 3 = -3(x^2-1)\);

\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).

- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;1)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\).

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\); \(y_{CĐ}=3\)

    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\); \(y_{CT}=-1\)

- Giới hạn:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr} \)

Bảng biến thiên:

         

* Đồ thị:

Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \(I(0;1)\) và nhận \(I\) làm tâm đối xứng.

b) \(x^3- 3x + m = 0\) \(⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1\) (1). Số nghiệm của (1) chính là  số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : \(y = m + 1\).

Từ đồ thị ta thấy :

       +)  \(m + 1 < -1 ⇔ m < -2 \): (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.

       +)  \(m + 1 = -1 ⇔ m = -2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.

       +)  \(-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2\) : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.

       +)  \( m + 1 = 3 ⇔ m = 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.

       +)   \(m + 1 > 3 ⇔ m > 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.

loigiaihay.com

         

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan