Bài 1 trang 43 sách sgk giải tích 12


Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) y = 2 + 3x – x3 ;                              b) y = x3 + 4x2 + 4x ;

c) y = x3 + x2+ 9x ;                              d) y = –2x3 + 5 ;

Giải:

Câu a:

Xét hàm số y=2+3x-x3

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = 3- 3x2 .

Ta có: y' = 0 ⇔ x = ± 1 .

Bảng biến thiên:

         BBT câu a bài 1 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;1), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại y=y(1)=4, đạt cực tiểu tại x=-1 và yCT=y(-1)=0.

Đồ thị:

Ta có: y''=6x; y''=0 ⇔ x=0. Với x=0 ta có y=2. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(0;2) làm tâm đối xứng.

Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm (2;0) và (-1;0), cắt Oy tại điểm (0;2).

Đồ thị hàm số nhận điểm (0;2) làm điểm uốn. 

Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ x=-2 suy ra y=4.

Đồ thị câu a bài 1 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

Câu b:

Xét hàm số y=x3+4x2+4x

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\).

Sự biến thiên:

Đạo hàm:y' = 3x2 + 8x + 4.

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Bảng biến thiên câu b bài 1 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 2; - \frac{2}{3}} \right).\)

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại ycđ = y(-2) = 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{2}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( -\frac{2}{3} \right )=-\frac{32}{27}.\)

Đồ thị hàm số:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \(y''=6x+8;\)\(y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.\) 

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;0), cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: x3+4x2+4x=0 ⇔ x=0 hoặc x=-2 nên tọa độ các giao điểm là (0;0) và (-2;0).

Đồ thị câu b bài 1 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

Câu c:

Xét hàm số \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\).

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = 3x2 + 2x + 9 > 0, ∀x.

Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng biến thiên :

BBT câu c bài 1 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0), cắt trục Oy tại điểm (0;0).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y''=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔ \(x=-\frac{1}{3}.\) Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: \(I\left ( -\frac{1}{3};-\frac{79}{27} \right ).\)

Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ \(x_1\) và \(x_2\) sao cho \(\left| {{x_1} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right| = \left| {{x_2} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right|\), khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm (-1;-9) và \(\left ( \frac{1}{2};\frac{39}{8} \right ).\)

Đồ thị câu c bài 1 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

Câu d:

Xét hàm số y=-2x3+5

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = -6x2 ≤ 0, ∀x.

Bảng biến thiên:

Bảng biến thiên câu d bài 1 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R.

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Tính đối xứng: y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(0;5) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5), đồ thị cắt trục Ox tại điểm \(\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right).\) 

Đồ thị câu d bài 1 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

 Loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2018 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học..