Bài 6 trang 44 sách sgk giải tích 12


Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Bài 6. Cho hàm số  \(y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\) .

         a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

         b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt2)\).

         c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).

Giải:

a) \(y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\).

Tập xác định: \(\mathbb R\backslash \left\{ {{{ - m} \over 2}} \right\}\)  ;

 \(y' = {{{m^2} + 2} \over {{{(2x + m)}^2}}} > 0,\forall x \ne  - {m \over 2}\)

  Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Tiệm cận đứng \(∆\) : \(x =  - {m \over 2}\).

          \(A(-1 ; \sqrt2) ∈ ∆\) \(⇔- {m \over 2}= -1 ⇔ m = 2\).

c) \(m = 2\) thì hàm số đã cho có phương trình là:

\(y = {{2x - 1} \over {2x + 2}}\).

Tập xác đinh: \(D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \)

* Sự biến thiên:

\(y' = {6 \over {{{(2x + 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\)

- Cực trị:

    Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

   \(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ - }} = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ + }} = - \infty \cr} \)

Tiệm cận đứng là \(x=-1\), tiệm cận ngang là: \(y=1\)

- Bảng biến thiên

* Đồ thị

Đồ thị hàm số giao \(Ox\) tại điểm \(({1\over 2};0)\), giao \(Oy\) tại điểm \((0;{-1\over 2})\).

Đồ thị hàm số nhận điểm \(I(-1;1)\) làm tâm đối xứng.

loigiaihay.com       

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu