Lý thuyết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số


Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

Tóm tắt lý thuyết

1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

a) Tìm tập xác định của hàm số. Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số để thu hẹp phạm vi khảo sát.

b) Sự biến thiên : 

+ Xét sự biến thiên của hàm số :

 - Tìm đạo hàm bậc nhất y' ;

 - Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định ;

 - Xét dấu y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số .

+ Tìm cực trị .

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên tổng kết các bước trên để hình dung ra dáng điệu của đồ thị .

c) vẽ đồ thị (thể hiện các cực trị, tiệm cận, giao của đồ thị với các trục, . . .).

2. Bảng tóm tắt một số dạng đồ thị thường gặp

3.Chứng minh /  là tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)

Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Vậy để chứng minh  là tâm đối xứng, ta dùng công thức đổi trục:  để đưa hệ trục Oxy về hệ trục IXY (gốc I) và chứng minh: trong hệ trục IXY, hàm số đã cho có dạng Y=g(X) là hàm số lẻ.

(Chú ý: ).

4. Chứng minh đường thẳng  là trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)

Đồ thị của hàm số chẵn luôn nhận trục tung là trục đối xứng. Vậy để chứng minh đường thẳng  là trục đối xứng, ta dùng công thức đổi trục  để đưa hệ số Oxy về hệ trục IXY ( là trục tung) và chứng minh: trong hệ trục IXY, hàm số đã cho có dạng Y=g(X) là hàm số chẵn.

5. Tương giao của các đồ thị

Cho hai đồ thị  và 

Phương trình xác định hoành độ giao điểm của  và  là: f(x)=g(x). (1)

- Nếu (1) vô nghiệm thì  và  không có điểm chung (không cắt nhau và không tiếp xúc với nhau).

- Nếu (1) có nnghiệm phân biệt thì   và  giao nhau tại n điểm phân biệt. Nghiệm của (1) chính là hoành độ các giao điểm.

Chú ý

a)   tiếp xúc với   hệ  có nghiệm. Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó.

b) Đường thẳng (d): y: mx+n tiếp xúc với parabol   hệ  có nghiệm 

 phương trình   có nghiệm kép.

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2017 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học.

Bài viết liên quan