Giải bài 7 trang 43 SBT toán 10 - Cánh diều

Cho hàm số \(y = \frac{{ - 2}}{x}\). Chứng tỏ hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{{ - 2}}{x}\). Chứng tỏ hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) khi \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{x}\).

+ Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\) với \({x_1} < {x_2}\)

Ta có: \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{ - 2}}{{{x_1}}} - \frac{{ - 2}}{{{x_2}}} = \frac{{2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Mà \({x_1} < {x_2} < 0 \Rightarrow {x_1} - {x_2} < 0,\;{x_1}.{x_2} > 0\)

\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

+ Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) với \({x_1} < {x_2}\)

Ta có: \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{ - 2}}{{{x_1}}} - \frac{{ - 2}}{{{x_2}}} = \frac{{2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Mà \(0 < {x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} - {x_2} < 0,\;{x_1}.{x_2} > 0\)

\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 8 trang 43 SBT toán 10 - Cánh diều
Một nhân viên bán hàng sẽ nhận được một mức lương cơ bản là 5 triệu đồng mỗi tháng và một khoản hoa hồng là 5% nếu tổng doanh thu trên 10 triệu đồng trong tháng
Giải bài 6 trang 43 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho bảng biến thiên hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau:
Giải bài 5 trang 43 SBT toán 10 - Cánh diều
Quan sát đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ở Hình 5
Giải bài 4 trang 42 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l} - x + 1,x < 0\\0,x = 0\\1,x > 0\end{array} \right.\)
Giải bài 3 trang 42 SBT toán 10 - Cánh diều
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
Giải bài 2 trang 42 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ở Hình 4. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Giải bài 1 trang 42 SBT toán 10 - Cánh diều
Trong các công thức sau, công thức nào không biểu diễn \(y\) là hàm số của \(x\)?