Giải bài 5 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Hình 11 minh họa mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của văn phòng là 16 m, chiều cao của tường là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.

Đề bài

Hình 11 minh họa mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của văn phòng là 16 m, chiều cao của tường là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.

a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) (đơn vị trên hai trục là mét)

b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị trí có tọa độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thì sẽ đi qua tiêu điểm còn lại

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ Độ dài trục lớn: \(2a\), độ dài trục nhỏ: \(2b\)

+ \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

Lời giải chi tiết

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

Từ hình vẽ ta có:

Độ dài trục lớn: \(2a = 16 \Rightarrow a = 8\), độ dài bán trục nhỏ: \(b = 3\)

Vậy phương trình elip cần tìm là \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

b) Vì một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại nên để bức tượng sáng rõ nhất ta sẽ đặt bức tượng ở tiêu điểm còn lại. Toạ độ của vị trí này là \(\left( {c;0} \right)\)

Ta có: \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {{8^2} - {3^2}} = \sqrt {64 - 9} = \sqrt {55} \)

Cần đặt bức tượng cách tường bên phải một khoảng là: \(8 - \sqrt {55} \approx 0,58(m)\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 4 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tọa độ điểm \(M \in \left( E \right)\) sao cho độ dài \({F_2}M\) lớn nhất, biết \({F_2}\) là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E)
Giải bài 3 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn \(a \approx 149.598.261\) km và tâm sai \(e \approx 0,017\). Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị)
Giải bài 2 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
Giải bài 1 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
Giải mục 7 trang 47 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Vẽ elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Giải mục 6 trang 46 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Cho elip (E) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
Giải mục 5 trang 45, 46 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Cho elip (E) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
Giải mục 4 trang 43, 44, 45 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(0 < c < a\).
Giải mục 2 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip \(\left( E \right)\) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
Giải mục 1 trang 39, 40 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó \(a > b > 0\) (Hình 2)