Giải bài 1 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 2;0} \right)\)

b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng \(\frac{3}{5}\)

c) Tâm sai bằng \(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\) và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ Độ dài trục lớn: \(2a\), độ dài trục nhỏ: \(2b\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\) với \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \).

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b

Lời giải chi tiết

a) Ta có: Độ dài trục lớn \(2a = 6 \Rightarrow a = 3\) và tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 2;0} \right)\) nên \(c = 2 \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \)

Vậy elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)

b) Ta có: Tiêu cự \(2c = 12 \Rightarrow c = 6\)

Tâm sai bằng \(e = \frac{c}{a} = \frac{6}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow a = 10\)

\( \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\)

Vậy elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

c) Tâm sai bằng \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{5}{9}\)

\( \Rightarrow 9{a^2} - 9{b^2} = 5{a^2} \Rightarrow 4{a^2} = 9{b^2} \Rightarrow 2a = 3b\)

Với chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20 nên \(2\left( {2a + 2b} \right) = 20 \Rightarrow a + b = 5\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 3b\\a + b = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.2 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
Giải bài 3 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn \(a \approx 149.598.261\) km và tâm sai \(e \approx 0,017\). Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị)
Giải bài 4 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tọa độ điểm \(M \in \left( E \right)\) sao cho độ dài \({F_2}M\) lớn nhất, biết \({F_2}\) là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E)
Giải bài 5 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Hình 11 minh họa mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của văn phòng là 16 m, chiều cao của tường là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.
Giải mục 7 trang 47 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Vẽ elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Giải mục 6 trang 46 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Cho elip (E) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
Giải mục 5 trang 45, 46 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Cho elip (E) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
Giải mục 4 trang 43, 44, 45 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(0 < c < a\).
Giải mục 2 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip \(\left( E \right)\) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
Giải mục 1 trang 39, 40 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó \(a > b > 0\) (Hình 2)