Đề bài

Cho hai phương trình \({x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x + {m^3} + 7\sqrt 2  - 23 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(2{x^2} + \left( {{m^2} - m} \right)x + 9\sqrt 2  - 30 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) (\(x\) là ẩn số, \(m\) là tham số).

Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung \(x = 3\).

  • A.

    \(m = \sqrt 2\)

  • B.

    \(m=1\)

  • C.

    \(m =  2\)

  • D.

    \(m = \sqrt 2-1\)

Phương pháp giải

Một số là nghiệm của phương trình thì thoả mãn phương trình.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Phương trình (1) có hai nghiệm \({\Delta _1} \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2{m^2} + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^3} + 7\sqrt 2  - 23} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} + 4{m^2} + 1 - 4{m^3} - 28\sqrt 2  + 92 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} - 4{m^3} + 4{m^2} - 28\sqrt 2  + 93 \ge 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Phương trình (2) có hai nghiệm \({\Delta _2} \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - m} \right)^2} - 8\left( {9\sqrt 2  - 30} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^4} - 2{m^3} + {m^2} - 72\sqrt 2  + 240 \ge 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Hai phương trình đã cho có nghiệm chung là \(x = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 + \left( {2{m^2} + 1} \right).3 + {m^3} + 7\sqrt 2  - 23 = 0\\2.9 + \left( {{m^2} - m} \right).3 + 9\sqrt 2  - 30 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\3{m^2} - 3m + 9\sqrt 2  - 12 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2  - 11 = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\{m^2} - m + 3\sqrt 2  - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải phương trình (4) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 4 \right) \Leftrightarrow {m^2} - m = 4 - 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} - 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{17}}{4} - 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17 - 12\sqrt 2 }}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{9 - 2.3.2\sqrt 2  + 8}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\\m - \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 - \sqrt 2 \,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\\m = \sqrt 2  - 1\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(m = 2 - \sqrt 2 \) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^3} + 6{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^2} + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 20 - 14\sqrt 2  + 6\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 9 - 7\sqrt 2  + 36 - 24\sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow 45 - 31\sqrt 2  = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow m = 2 - \sqrt 2 \) không thỏa mãn bài toán.

+) Với \(m = \sqrt 2  - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^3} + 6{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\ \Leftrightarrow  - 7 + 5\sqrt 2  + 6\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\ \Leftrightarrow  - 18 + 12\sqrt 2  + 18 - 12\sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow m = \sqrt 2  - 1\) thỏa mãn bài toán.

Vậy \(m = \sqrt 2  - 1\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án : D

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac > 0$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm là

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình $6{x^2} - 7x = 0$.

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình $ - 4{x^2} + 9 = 0$.

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Tìm tích các giá trị của m để phương trình $4m{x^2} - x - 14{m^2} = 0$ có nghiệm $x = 2$.

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm số nghiệm của phương trình $9{x^2} - 15x + 3 = 0$.

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm các nghiệm (nếu có ) của phương trình ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0$

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Tìm điều kiện của tham số  $m$ để phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt .

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Tìm các giá trị của tham số  $m$ để  phương trình \({x^2} + mx - m = 0\) có nghiệm kép.

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \({x^2} + (1 - m)x - 3 = 0\) vô nghiệm

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \((m + 2){x^2} + 2x + m = 0\) vô nghiệm

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Tìm điều kiện của tham số $m$  để phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) có nghiệm.

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Cho phương trình ${x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0$. Kết luận nào sau đây là đúng?

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Biết rằng phương trình ${x^2} - {\rm{ }}2(3m + 2)x + {\rm{ }}2{m^2} - 3m - 10 = 0$

 có một trong các nghiệm bằng $ - 1$. Tìm nghiệm còn lại với $m > 0$

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Tìm \(m\) để hai phương trình \({x^2} + mx + 1 = 0\) và \({x^2} + x + m = 0\) có ít nhất một nghiệm chung.

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Cho hai phương trình \({x^2} - 13x + 2m = 0\) (1) và \({x^2} - 4x + m = 0\) (2). Xác định \(m\) để một nghiệm phương trình (1) gấp đôi \(1\)  nghiệm phương trình (2).

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6  = 0\) có các nghiệm đều là nghiệm của phương trình \({x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left(  *  \right).\) Tìm \(b,c\) và giải phương trình \(\left(  *  \right)\) ứng với \(b,c\) vừa tìm được.

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Cho phương trình \({x^2} + 1 = 9{m^2}{x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x\,\left( {m \in \,R} \right).\) Tích \(P\) tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho không là phương trình bậc hai bằng

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4=0\) , với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu?

 

Xem lời giải >>