Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\); \(B = \frac{7}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\) với \(x \ge 0\); \(x \ne 9\).
1) Tính giá trị của A khi \(x = \frac{9}{4}\).
2) Rút gọn \(M = A - B\).
3) Tìm các giá trị của x sao cho \({M^2} < \frac{{25}}{4}\).
1) Kiểm tra điều kiện của x. Nếu thỏa mãn, thay \(x = \frac{9}{4}\) vào A.
2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.
3) Rút gọn P rồi giải bất đẳng thức \({M^2} < \frac{{25}}{4}\), kết hợp điều kiện để tìm x.
1) Thay \(x = \frac{9}{4}\) (thỏa mãn điều kiện) vào A, ta được:
\(A = \frac{{\sqrt {\frac{9}{4}} }}{{\sqrt {\frac{9}{4}} - 3}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{3}{2} - 3}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{{ - 3}}{2}}} = - 1\).
Vậy khi \(x = \frac{9}{4}\) thì A = -1.
2) ĐKXĐ: \(x \ge 0\); \(x \ne 9\).
\(M = A - B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \left[ {\frac{7}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}} \right] = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{7}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - 7\left( {\sqrt x - 3} \right) - 12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x + \sqrt x - 7\sqrt x + 21 - 12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x - 6\sqrt x + 9}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\).
3) \({M^2} < \frac{{25}}{4}\)
\({\left( {\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}} \right)^2} < {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2}\)
\({\left( {\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}} \right)^2} - {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} < 0\)
\(\left( {\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{5}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{5}{2}} \right) < 0\)
\(\frac{{2\sqrt x - 6 - 5\sqrt x - 5}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{2\sqrt x - 6 + 5\sqrt x + 5}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} < 0\)
\(\frac{{ - 3\sqrt x - 11}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{7\sqrt x - 1}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} < 0\)
\(\frac{{\left( { - 3\sqrt x - 11} \right).\left( {7\sqrt x - 1} \right)}}{{4{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} < 0\).
Vì \(4{\left( {\sqrt x + 1} \right)^2} > 0\) nên để \(\frac{{\left( { - 3\sqrt x - 11} \right).\left( {7\sqrt x - 1} \right)}}{{4{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} < 0\) thì \(\left( { - 3\sqrt x - 11} \right).\left( {7\sqrt x - 1} \right) < 0\).
Mà \(\sqrt x \ge 0\) nên \( - 3\sqrt x \le 0\), suy ra \( - 3\sqrt x - 11 < 0\).
Do đó, để \(\left( { - 3\sqrt x - 11} \right).\left( {7\sqrt x - 1} \right) < 0\) thì:
\(7\sqrt x - 1 > 0\)
\(\sqrt x > \frac{1}{7}\)
\(x > \frac{1}{{49}}\).
Vậy, với \(x > \frac{1}{{49}}\), \(x \ne 9\) thì \({M^2} < \frac{{25}}{4}\).
