Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ đều, đường cao $SH$ với $H$ nằm trong tam giác $ABC$ và $2SH = BC$, $(SBC)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc ${60^0}$. Biết có một điểm $O$ nằm trên đường cao $SH$ sao cho $d(O;AB) = d(O;AC) = 2d(O;(SBC)) = 1$. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
-
A.
$\dfrac{{500\pi }}{{81}}$.
-
B.
$\dfrac{{343\pi }}{{48}}$.
-
C.
$\dfrac{{256\pi }}{{81}}$.
-
D.
$\dfrac{{125\pi }}{{162}}$.
- Xác định vị trí của \(H\) trong trong tam giác \(ABC\).
- Tính bán kính và suy ra thể tích khối cầu.
Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ :
$\begin{array}{l}HJ \bot BC,\,\,(J \in BC);\,\,OM \bot AC,\,\,\left( {M \in AC} \right);\,\,\\ON \bot AB,\,\left( {N \in AB} \right)\,\,;\,\,OK \bot SJ,\,\left( {K \in SJ} \right)\end{array}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}HJ \bot BC\\SH \bot BC\end{array} \right. \Leftrightarrow BC \bot (SHJ) \Rightarrow BC \bot OK$
Mà $OK \bot SJ \Rightarrow OK \bot (SBC) \Rightarrow d(O,(SBC) = OK$.
Theo đề bài, ta có: $OM = ON = 2OK = 1$.
Dễ dàng chứng minh được: $\Delta OMH = \Delta ONH\,\,(ch - cgv) \Rightarrow HM = HN$
$\Delta AHM = \Delta AHN\,\,(ch - cgv) \Rightarrow \widehat {MAH} = \widehat {NAH} \Rightarrow AH$ là phân giác góc $A.$
Do $I$ là trung điểm của $BC$, tam giác $ABC$ đều
$ \Rightarrow AI$ là phân giác góc $A.$
Suy ra $A, H, I$ thẳng hàng $H \in $ đoạn thẳng $AI$ (do $H$ nằm trong tam giác $ABC$)
Ta có:
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BC\\SH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAI)\\ \Rightarrow \left( {\widehat {(SBC),(ABC)}} \right) = \left( {\widehat {SI,AI}} \right) = \widehat {SIA} = {60^0}\end{array}$
Tam giác $SHI$ vuông tại $H$ $ \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{HI}} = \tan {60^0} \Rightarrow SH = \sqrt 3 HI$
Tam giác AIC vuông tại I $ \Rightarrow \dfrac{{AI}}{{IC}} = \tan {60^0} \Rightarrow AI = \sqrt 3 IC = \sqrt 3 .\dfrac{{BC}}{2} = \sqrt 3 SH$
$ \Rightarrow AI = 3HI \Rightarrow H$là trọng tâm tam giác đều ABC \( \Rightarrow M,N\) lần lượt là trung điểm của AC, AB.
$ \Rightarrow S.ABC$ là hình chóp đều. Mà $O \in SH$$ \Rightarrow OM = ON = OI = 1$
Tam giác $IOK$ vuông tại $K$: $\dfrac{{OK}}{{OI}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}}}{1} = \dfrac{1}{2} = \sin \widehat {KIO} \Rightarrow \widehat {KIO} = {30^0} \Rightarrow \widehat {HIO} = {60^0} - {30^0} = {30^0}$
Tam giác $HIO$ vuông tại $H$: $HI = OI.\cos {30^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
Tam giác $SHI $ vuông tại $H$: $SH = HI.\tan {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{3}{2} = h,\,\,\,SI = \dfrac{{HI}}{{\cos {{60}^0}}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{1}{2}}} = \sqrt 3 $
Tam giác SCI vuông tại I: $SC = \sqrt {S{I^2} + I{C^2}} = \sqrt {S{I^2} + S{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{2} = a$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ là: $R = \dfrac{{{a^2}}}{{2h}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt {21} }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{21}}{4}}}{3} = \dfrac{7}{4}$
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ là: $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{7}{4}} \right)^3} = \dfrac{{343\pi }}{{48}}$.
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Một hình nón đỉnh \(S\) có bán kính đáy bằng \(2a\sqrt 3 \), góc ở đỉnh là \(120^\circ \). Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất \({S_{\max }}\) của thiết diện đó là bao nhiêu?
Cho khối trụ có hai đáy là hình tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R} \right)\), \(OO' = 4R\). Trên đường tròn tâm $O$ lấy \(\left( O \right)\) lấy hai điểm $A, B$ sao cho \(AB = R\sqrt 3 \). Mặt phẳng $(P) $ đi qua $A, B$ cắt $OO’$ và tạo với đáy một góc bằng $60^0$. $(P)$ cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng:
Một cái phễu có dạng hình nón có chiều cao $15(cm).$ Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng \(\dfrac{1}{3}\) chiều cao ban đầu của cái phễu (hình 1). Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên (hình 2) thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần nghìn).
Một cái phễu có dạng hình nón. Chiều cao của phễu là 20 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng $10 cm$. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?
Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AD \bot (ABC)$, $ABC$ là tam giác vuông tại $B.$ Biết $BC = a,$ $AB = a\sqrt 3 $, $AD = 3a.$ Quay các tam giác $ABC$ và $ABD$ (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng $AB$ ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng
Có 4 viên bi hình cầu bán kính bằng 1cm. Người ta đặt 3 viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt bàn. Sau đó đai 3 viên bi đó lại và đặt 1 viên bi thứ 4 tiếp xúc vởi cả 3 viên bi trên như hình vẽ bên dưới. Gọi O là điểm thuộc bề mặt của viên bi thứ 4 có khoảng cách đến mặt bàn là lớn nhất. Khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = {90^0}$, cạnh bên $SA$ vuông góc với $(ABCD)$, góc tạo bởi $SC$ và đáy $ABCD$ bằng ${60^0}$, $CD = a$ và tam giác $ADC $ có diện tích bằng $\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là:
Cho hình nón ${N_1}$ có chiều cao bằng $40cm$. Người ta cắt hình nón ${N_1}$ bằng một mặt phẳng song song với đáy của có để được một hình nón nhỏ ${N_2}$ có thể tích bằng $\dfrac{1}{8}$thể tích ${N_1}$. Tính chiều cao h của hình nón ${N_2}$?
Cho hình trụ có chiều cao \(h = a\sqrt 3 \), bán kính đáy \(r = a\). Gọi \(O,O'\) lần lượt là tâm của hai đường tròn đáy. Trên hai đường tròn đáy lần lượt lấy hai điểm $A, B$ sao cho hai dường thẳng $AB$ và $OO’$ chéo nhau và góc giữa hai đường thẳng $AB$ với $OO’ $ bằng $30^0$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $OO’$ bằng :
Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng $1, 2, 4.$ Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó.
Tháp nước Hàng Đậu là một di tích kiến trúc cổ của Thủ đô Hà Nội, được xây dựng vào cuối thế kỉ XIX. Tháp được thiết kế gồm thân tháp có dạng hình trụ và phần mái phía trên dạng hình nón. Không gian bên trong toàn bộ tháp được minh họa theo hình vẽ với đường kính đáy hình trụ và đường kính đáy của hình nón đều bằng 19 m, chiều cao hình trụ 20 m, chiều cao hình nón là 5 m.
Thể tích của toàn bộ không gian bên trong tháp nước Hàng Đậu gần nhất với giá trị nào sau đây?
