Lý thuyết về giới hạn của dãy số.


Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn |q|

Lý thuyết về giới hạn của dãy số.

Tóm tắt lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}\) = 0 khi và chỉ khi |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}\) = a <=> \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }(u_{n}-a)\) = 0.

2. Giới hạn vô cực

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}\) = +∞ khi và chỉ khi ucó thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+ \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}\) = -∞ <=> \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(-u_{n})\) = +∞.

3. Các giới hạn đặc biệt

a) lim \(\frac{1}{n}\) = 0;

lim \(\frac{1}{n^{k}}\) = 0;

lim n= +∞, với k nguyên dương.

b) lim q= 0 nếu |q| < 1;

lim q= +∞ nếu q > 1.

c) lim c = c (c là hằng số).

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu lim u= a và lim v= b, thì:

  • lim (un +  vn) = a + b
  • lim (un -  vn) = a - b
  • lim (un .  vn) = ab
  • lim \(\frac{u_{n}}{v_{n}}\) = \(\frac{a}{b}\) (nếu b ≠ 0).

b) Nếu u≥ 0 với mọi n và lim u= a thì a > 0 và lim √ u= √a.

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

a) Nếu lim u= a và lim v= ± ∞ thì lim \(\frac{u_{n}}{v_{n}}\) = 0.

b)  Nếu lim u= a > 0, lim v= 0 và v> 0 với mọi n thì lim \(\frac{u_{n}}{v_{n}}\) = +∞

c) Nếu lim u= +∞ và lim v= a > 0 thì lim (un .  vn) = +∞.

6. Cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn |q| <1.

+) Công thức tính tổng S của cấp số lùi vô hạn (un):

>>>>> Học tốt lớp 11 các môn Toán, Lý, Anh, Hóa năm 2018 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu