Giải chuyên đề học tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức Bài tập cuối chuyên đề 3 Chuyên đề học tập Toán 11 kết ..

Giải bài 3.19 trang 80 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức


Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P1), (P2) và (P3) giao nhau tại O

Đề bài

Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P1), (P2) và (P3) giao nhau tại O. Gọi A1, A­2, A3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng (P1), (P2) và (P3). Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các giao tuyến của (P1) và (P2), (P2) và (P3), (P3) và (P1).

a) Chứng minh \(O{A^2}\; = {\rm{ }}O{M^2}\; + {\rm{ }}O{N^2}\; + {\rm{ }}O{P^2}.\)

b) Áp dụng ý a để chứng minh \(OA = \sqrt {\frac{{OA_1^2 + OA_2^2 + OA_3^2}}{2}} \)

Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vẽ hình và sử dụng định lý Pytago để làm

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông.

Tam giác OMA vuông tại M có: OA2 = OM2 + AM2 (1)

Tam giác ONA vuông tại N có: OA2 = ON2 + AN2 (2)

Tam giác OPA vuông tại P có: OA2 = OP2 + AP2 (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được: 

3OA2 = (OM2 + ON2 + OP2) + (AM2 + AN2 + AP2) 

Ta chứng minh được: AM2 + AN2 + AP2 = 2OA2. (4)

Suy ra: OA2 = OM2 + ON2 + OP2. 

b) Vì AM vuông góc OM, OM // AA3 nên AM vuông góc AA3

Mà AA3 vuông góc với OA3 

Suy ra: AM // OA3 và AA3 // OM nên AMOA3 là hình bình hành.

Do đó: AM = OA3.

Chứng minh tương tự ta được: AN = OA1, AP = OA2.

Thay kết quả trên vào (4) ta được: \(OA_3^2 + OA_2^2 + OA_1^2 = 2O{A_2}\).

Suy ra \(OA = \sqrt {\frac{{OA_1^2 + OA_2^2 + OA_3^2}}{2}} \).

Ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Thay số vào kết quả trên ta được: \(OA = \sqrt {\frac{{{1^2} + {2^2} + {3^2}}}{2}}  = \sqrt 7 \) (cm).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store