Giải bài 1.8 trang 15 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B sao cho đường thẳng AB không vuông góc với d.

Đề bài

Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B sao cho đường thẳng AB không vuông góc với d. Gọi M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d. Hỏi A, B, M, N có là 4 đỉnh của một hình thang cân hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hình thang cân là hình thang có 2 cạnh bên hoặc 2 góc ở đáy bằng nhau.

Hình thang là tứ giác có một cặp cạnh song song.

Lời giải chi tiết

Vì M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d nên phép đối xứng trục d biến điểm A thành điểm M và biến điểm B thành điểm N. Do đó, d là đường trung trực của đoạn thẳng AM và đoạn thẳng BN. Suy ra AM // BN (vì cùng vuông góc với d).

Suy ra tứ giác AMNB là hình thang (1).

Gọi F là trung điểm của BN, khi đó F thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng BN nên phép đối xứng trục d biến điểm F thành chính nó.

Từ đó suy ra phép đối xứng trục d biến góc ABF thành góc MNF nên \(\widehat {ABF} = \widehat {MNF}\) hay \(\widehat {ABN} = \widehat {MNB}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMNB là hình thang cân.

Vậy A, B, M, N là 4 đỉnh của một hình thang cân.