Câu hỏi
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({x^4} - 3{x^2} - m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
- A
\(m > - 1\) hoặc \(m = - \frac{{13}}{4}.\)
- B
\(m > - 1\)
- C
\(m \ge - 1\) hoặc \(m = - \frac{{13}}{4}.\)
- D \(m \ge - 1\)
Phương pháp giải:
Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow pt\) ẩn t có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - 3t - m - 1 = 0\) (1).
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow pt\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương.
TH1: (1) có nghiệm kép dương.
\(\Delta = 9 - 4\left( { - m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4m + 13 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{{13}}{4}\)
Phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{3}{2} > 0 \Rightarrow m = - \frac{{13}}{4}\,\,\left( {tm} \right)\)
TH2: (1) có 2 nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow - m - 1 < 0 \Leftrightarrow m > - 1\).
Vậy \(m > - 1\) hoặc \(m = - \frac{{13}}{4}\).
Chọn đáp án A.