Câu hỏi
Tập nghiệm của bất phương trình \(x+1+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+1}\ge 3\sqrt{x}\) có dạng \(S=\left[ a;b \right]\cup \left[ c;+\,\infty \right),\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương. Tính tổng \(P=2a+4b-c.\)
- A
\(P=1.\)
- B
\(P=-\,3.\)
- C
\(P=0.\)
- D \(P=-\,2.\)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ của tổng hai căn, biến đổi ra tích, đưa về giải bất phương trình cơ bản
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(0\le x\le 2-\sqrt{3}\) hoặc \(x\ge 2+\sqrt{3}\) \(\left( * \right).\)
Nhận xét: \(x=0\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Với \(x>0,\) bất phương trình đã cho tương đương với: \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}-4}\ge 3\) \(\left( 1 \right).\)
Đặt \(t=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+\frac{1}{x}+2\) bất phương trình
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} - 6} \ge 3 - t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{t^2} - 6 \ge 0\\3 - t < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3 - t \ge 0\\{t^2} - 6 \ge {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t > 3\\t \ge \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow t \ge \frac{5}{2}.\)
Khi đó \(\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x \ge 2\\\sqrt x \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\0 < x \le \frac{1}{4}\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left[ 0;\frac{1}{4} \right]\cup \left[ 4;+\,\infty \right)\)\(\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{align} a=0 \\ 4b=1 \\ c=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,P=-\,3.\)
Chọn B