Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết \(\Delta SAB\) là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích khối chóp \(S.ABC\) biết \(AB = a,AC = a\sqrt 3 .\)
- A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}.\)
- B \(\dfrac{{{a^3}}}{4}.\)
- C \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)
- D
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.\)
Phương pháp giải:
- Xác định đường cao của hình chóp.
- Sử dụng công thức tính thể tích hình chóp khi biết đường cao và diện tích đáy.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(I\) là trung điểm cạnh\(AB\), vì \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SI \bot AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\).
\(\Delta SAB\)là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có \(AB = a,AC = a\sqrt 3 \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \)(Định lí Pytago).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 2 = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SI.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)
Chọn C