Bài tập 3 - Trang 90 - SGK Hình học 12.


Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp.

3. Xét vị trí tương đối của đường thẳng dd' trong các trường hợp sau:

a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\)         và                d': \(\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;

b) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\)               và                d':  \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải:

a)  Đường thẳng d đi qua M1( -3 ; -2 ; 6) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}\)(2 ; 3 ; 4).

Đường thẳng d' đi qua M2( 5 ; -1 ; 20) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}\)(1 ; -4 ; 1).

Ta có   \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ]\) = (19 ; 2 ; -11) ; \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) = (8 ; 1 ; 14) 

và \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) = (19.8 + 2 - 11.4) = 0

nên d và d' cắt nhau.

Nhận xét : Ta nhận thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\), \(\overrightarrow{u_{2}}\) không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:\(\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & (1)\\ -2+3t=-1-4t' & (2) \\ 6+4t=20+t'& (3) \end{matrix}\right.\)

Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có 2t = 6 => t = -3, thay vào (1) có t' = -2, từ đó d và d' có điểm chung duy nhất M(3 ; 7 ; 18). Do đó dd' cắt nhau.

b) Ta có : \(\overrightarrow{u_{1}}\)(1 ; 1 ; -1) là vectơ chỉ phương của d và \(\overrightarrow{u_{2}}\)(2 ; 2 ; -2) là vectơ chỉ phương của d' .

Ta thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\) và \(\overrightarrow{u_{2}}\) cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1 ; 2 ; 3) ∈ d ta thấy M \(\notin\) d' nên dd' song song.

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2018 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học..