Bài tập 2 - Trang 89 - SGK Hình học 12


2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên các trục.

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường

thẳng d:  \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\)

lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) (Oxy) ;

b) (Oyz).

Hướng dẫn giải:

a) Xét mặt phẳng (P) đi qua d và (P) ⊥ (Oxy), khi đó ∆ = (P)  ∩ (Oxy) chính là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy).

Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng: z = 0 ;  vectơ \(\overrightarrow{k}\)(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của  (Oxy), khi đó \(\overrightarrow{k}\) và  \(\overrightarrow{u}\)( 1 ; 2 ; 3) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).

\(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ]\) = (2 ; -1 ; 0) là vectơ pháp tuyến của (P).

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

       2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0

 hay 2x - y - 7 = 0.

Đường thẳng hình chiếu ∆ thỏa mãn hệ:

                                       \(\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.\)

Điểm M0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆ ; vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{v}\) của ∆ vuông góc với \(\overrightarrow{k}\) và vuông góc với \(\overrightarrow{n}\), vậy có thể lấy \(\overrightarrow{v}=\left [\overrightarrow{k},\overrightarrow{n} \right ]\) = (1 ; 2 ; 0).

Phương trình tham số của hình chiếu ∆ có dạng:

                                       \(\left\{\begin{matrix} x=4+t & \\ y=1+2t& ,t\in R\\ z=0& \end{matrix}\right.\).

Chú ý :

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sau:

Lấy hai điểm trên d và tìm hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là hình chiếu cần tìm.

Chẳng hạn lấy M1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và  M2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của 

M1 trên (Oxy) là N1 (2 ; -3 ; 0), hình chiếu vuông góc của M2 trên (Oxy) là N2(0 ; -7 ; 0).

Đườn thẳng ∆ qua N1, N­2 chính là hình chiếu vuông  góc của d lên (Oxy).

Ta có : \(\overrightarrow{N_{1}N_{2}}\)(-2 ; -4 ; 0) // \(\overrightarrow{v}\)(1 ; 2 ; 0).

Phương trình tham số của ∆ có dạng:

                                        \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y = -3 +2t & t \in R\\ z =0& \end{matrix}\right.\).

b) Tương tự phần a), mặt phẳng (Oxy) có phương trình x = 0.

 lấy M1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và  M2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của 

M1 trên (Oxy) là M'(0 ; -3 ; 1), hình chiếu vuông góc của M2 trên (Oyz) là chính nó.

Đườn thẳng ∆ qua M'1, M­2 chính là hình chiếu vuông  góc của d lên (Oyz).

Ta có: \(\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}\)(0 ; -4 ; -6) // \(\overrightarrow{v}\) (0 ; 2 ; 3).

Phương trình M'12 có dạng: 

                                          \(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.\).

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2018 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học..