Bài tập 2 - Trang 89 - SGK Hình học 12

Bình chọn:
4.2 trên 9 phiếu

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên các trục.

Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng 

\(d\):  \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\)

lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) \((Oxy)\) ;

b) \((Oyz)\).

Giải:

a) Xét mặt phẳng \((P)\) đi qua \(d\) và \((P) ⊥ (Oxy)\), khi đó \(∆ = (P)  ∩ (Oxy)\) chính là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên mặt phẳng \((Oxy)\).

Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) có dạng: \(z = 0\) ;  vectơ \(\overrightarrow{k}\)(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của  \((Oxy)\), khi đó \(\overrightarrow{k}\) và  \(\overrightarrow{u}( 1 ; 2 ; 3)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\).

\(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ] = (2 ; -1 ; 0)\) là vectơ pháp tuyến của \((P)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng:

       \(2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0\)

 hay \(2x - y - 7 = 0\).

Đường thẳng hình chiếu \(∆\) thỏa mãn hệ:

                                       \(\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.\)

Điểm \(M_0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆\) ; vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{v}\) của \(∆\) vuông góc với \(\overrightarrow{k}\) và vuông góc với \(\overrightarrow{n}\), vậy có thể lấy \(\overrightarrow{v}=\left [\overrightarrow{k},\overrightarrow{n} \right ]= (1 ; 2 ; 0)\).

Phương trình tham số của hình chiếu \(∆\) có dạng:

                                       \(\left\{\begin{matrix} x=4+t & \\ y=1+2t& ,t\in R\\ z=0& \end{matrix}\right.\).

b) Tương tự phần a), mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình \(x = 0\).

 lấy \(M_1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d\) và  \(M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d\), hình chiếu vuông góc của 

\(M_1\) trên \((Oxy)\) là \(M_1\)\((0 ; -3 ; 1)\), hình chiếu vuông góc của \(M_2\) trên \((Oyz)\) là chính nó.

Đườn thẳng \(∆\) qua \(M'_1, MM_2\) chính là hình chiếu vuông  góc của \(d\) lên \((Oyz)\).

Ta có: \(\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}(0 ; -4 ; -6)\) // \(\overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 3)\).

Phương trình \(M'_1M_2\) có dạng: 

  \(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.\).

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan