Bài 3 trang 113 SGK Hình học 11


Đề bài

Trong mặt phẳng \((\alpha)\) cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(B\). Một đoạn thẳng \(AD\) vuông góc với \((\alpha)\) tại \(A\). Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\);

b) Mặt phẳng \((ABD)\) vuông góc với mặt phẳng \((BCD)\);

c) \(HK//BC\) với \(H\) và \(K\) lần lượt là giao điểm của \(DB\) và \(DC\) với mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(DB\).

Video hướng dẫn giải

Quảng cáo
decumar

Lời giải chi tiết

a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB \, \bot \, BC\) (1)

\(AD\) vuông góc với \((\alpha)\) nên \(AD \, \bot \, BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC \, \bot \, (ABD)\) suy ra \(BC \, \bot \, BD\)

\(\left. \matrix{
(ABC) \cap (DBC) = BC \hfill \cr
BD \, \bot \, BC \hfill \cr
AB \,\bot \, BC \hfill \cr} \right\} \)

\(\Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\) là góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(BA\)

Mà \(DA \, \bot \, \left( {ABC} \right) \Rightarrow DA \, \bot \, AB\) \( \Rightarrow \widehat {ABD} < {90^0}\)

Vậy \(\widehat {ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\).

b)

\(\left. \matrix{
BC\, \bot \, (ABD) \hfill \cr
BC \, \subset \, (BCD) \hfill \cr} \right\}\) \( \Rightarrow (ABD) \, \bot \, (BCD)\)

c) Do \((P)\) đi qua \(A, H, K\) nên mặt phẳng \(\left( P \right) \equiv \left( {AHK} \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(DB\) nên \(HK\bot BD\)

Trong \((BCD)\) có: \(HK \, \bot \, BD\) và \(BC \, \bot \, BD\) nên suy ra \(HK \, // \,BC\).

Chú ý:

Từ chứng minh trên ta có thể suy ra cách dựng \((P)\) như sau:

Trong \((DAB),\) qua \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(DB\) cắt \(DB\) tại \(H.\)

Trong \((DBC)\), kẻ đường thẳng qua \(H\) và vuông góc với \(DB\) cắt \(DC\) tại \(K.\)

Từ đó ta có \((P)\) chính là \((AHK).\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 14 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.