Bài 10 trang 114 SGK Hình học 11


Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng \(a\). Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \( ABCD\).

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(SO\).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(SC\). Chứng minh hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((SAC)\) vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài đoạn \(OM\) và tính góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông.

b) Chứng minh \(BD \, \bot  \, (SAC)\) và sử dụng lý thuyết: Nếu một đường thẳng vuông góc với một phẳng thì mọi mặt phẳng chứa đường thẳng này đều vuông góc mặt phẳng kia.

c) Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Quảng cáo
decumar

Lời giải chi tiết

a) Hình chóp tứ giác đều nên \(SO \, \bot  \, (ABCD)\). Do đó \(SO \, \bot  \, AC\)

Tam giác ABD vuông tại A nên \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = a\sqrt 2  \) \(\Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\):

\(SO = \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\)

b) \(BD \, \bot  \, AC\) , \(BD \, \bot  \, SO\) nên \(BD \,  \bot \,  (SAC)\),

Mà \(BD ⊂ (MBD)\) do đó \((MBD) ⊥ (SAC)\).

c) \(OM =\dfrac{SC}{2}=\dfrac{a}{2}\) (trung tuyến ứng với  cạnh huyền của tam giác vuông thì bằng nửa cạnh ấy). 

\( \Delta SDC = \Delta SBC(c.c.c)\) suy ra \(DM=BM\) suy ra tam giác \(BDM\) cân tại \(M\)

\(OM\) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(OM \, \bot  \, BD\)

\(\left. \matrix{
(MBD) \cap (ABCD) = BD \hfill \cr
OM  \, \bot  \, BD \hfill \cr
OC  \, \bot  \, BD \hfill \cr} \right\}\)

\( \Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\) là \(\widehat {MOC}\)

Ta có \(OM=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{a}{2}\) hay \(OM=MC\)

Tam giác \(OMC\) vuông cân tại \(M\) nên \(\widehat{MOC}=45^{0}.\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\) là \(45^0\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 21 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.