Giải bài 6.30 trang 12 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Thực hiện các phép tính sau: a) (left( {frac{1}{{{x^2} + x}} - frac{{2 - x}}{{x + 1}}} right):left( {frac{1}{x} + x - 2} right));

Đề bài

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right)\);

b) \(\left( {\frac{{3x}}{{1 - 3x}} + \frac{{2x}}{{3x + 1}}} \right):\frac{{6{x^2} + 10x}}{{1 - 6x + 9{x^2}}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức cộng (trừ) các phân thức khác mẫu để cộng (trừ) phân thức: Quy đồng mẫu thức rồi cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu vừa tìm được

+ Sử dụng kiến thức chia một phân thức cho một phân thức để tính: Nhân phân thức bị chia với nghịch đảo của phân thức chia: \(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{{A.D}}{{B.C}}\)

Lời giải chi tiết

\(\left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right) \\= \left( {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {2 - x} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right):\frac{{1 + {x^2} - 2x}}{x}\)

\( \\= \frac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}:\frac{{1 - 2x + {x^2}}}{x} \\= \frac{{x\left( {1 - 2x + {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - 2x + {x^2}} \right)x\left( {x + 1} \right)}} \\= \frac{1}{{x + 1}}\)

\(\left( {\frac{{3x}}{{1 - 3x}} + \frac{{2x}}{{3x + 1}}} \right):\frac{{6{x^2} + 10x}}{{1 - 6x + 9{x^2}}} \\= \frac{{3x\left( {3x + 1} \right) + 2x\left( {1 - 3x} \right)}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}:\frac{{2\left( {3{x^2} + 5x} \right)}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\)

\( \\= \frac{{9{x^2} + 3x + 2x - 6{x^2}}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}:\frac{{2\left( {3{x^2} + 5x} \right)}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} \\= \frac{{\left( {3{x^2} + 5x} \right){{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right).2\left( {3{x^2} + 5x} \right)}} \\= \frac{{1 - 3x}}{{2\left( {1 + 3x} \right)}}\)