Phương pháp giải:

Cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và đường thẳng \(d:Ax + By + C = 0\).

Điều kiện để đường thẳng \(d\) tiếp xúc với \(\left( E \right)\) là \({A^2}{a^2} + {B^2}{b^2} = {C^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M\) chuyển động trên trục \(Ox\) và điểm \(N\) chuyển động trên trục \(Oy\).

\( \Rightarrow M\left( {m;\,\,0} \right),\,N\left( {0;\,\,n} \right)\) với \(m > 0,\,\,n > 0\).

Phương trình đường thẳng \(MN\): \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\)

Để đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) thì: \({\left( {\frac{1}{m}} \right)^2} \cdot 16 + {\left( {\frac{1}{n}} \right)^2} \cdot 9 = 1\)

Ta có: \(M\left( {m;\,\,0} \right),\,\,N\left( {0;\,\,n} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - m;\,\,n} \right)\)\( \Rightarrow MN = \sqrt {{m^2} + {n^2}} \)

\( \Rightarrow M{N^2} = {m^2} + {n^2} = \left( {{m^2} + {n^2}} \right).1\)\( = \left( {{m^2} + {n^2}} \right) \cdot \left( {\frac{{16}}{{{m^2}}} + \frac{9}{{{n^2}}}} \right)\)\( = 25 + 16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} + 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(M{N^2} = 25 + 16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} + 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} \ge 25 + 2\sqrt {16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} \cdot 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}}  = 49\)

\( \Rightarrow M{N^2} \ge 49\)

\( \Rightarrow MN \ge 7\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{16{n^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{9{m^2}}}{{{n^2}}}\\{m^2} + {n^2} = 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\sqrt 7 \\n = \sqrt {21} \end{array} \right.\) (thõa mãn điều kiện)

Vậy \(M\left( {2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {0;\,\,\sqrt {21} } \right)\) thì \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(7.\)

Chọn B.