Một bể chứa nước hình trụ thẳng đứng đang đầy nước. Khi mở một nút xả ở đáy bể, nước chảy ra ngoài với tốc độ giảm thể tích tỷ lệ thuận với căn bậc hai của chiều cao mực nước hiện tại trong bể (do áp suất giảm). Nếu gọi V(t) là thể tích nước còn lại trong bể sau t phút, tốc độ thay đổi thể tích được mô tả bởi phương trình: $V'(t) = - k\sqrt{V(t)}$ (với k > 0). Biết bể ban đầu có lượng nước là 144 lít. Sau 10 phút xả, lượng nước còn lại trong bể là 64 lít. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc mở nút xả thì bể sẽ cạn hoàn toàn?

Tìm:

a) \(\int {\left( {3\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\);

b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)} dx\left( {x > 0} \right)\);

c) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\);

d) \(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx\).

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {2^x} - \frac{1}{x}\);

b) \(y = x\sqrt x  + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}\).

Tìm:

a) \(\int {\left( {5\sin x + 6\cos x} \right)dx} \)

b) \(\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} \)

c) \(\int {{2^{3x}}dx} \)

d) \(\int {\left( {{{2.3}^{2x}} - {e^{x + 1}}} \right)dx} \)

Cho hàm số \(f(x) = 2x + {e^x}\). Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) sao cho F(0) = 2023 là:

A. \({x^2} + {e^x} + 2023\)

B. \({x^2} + {e^x} + C\)

C. \({x^2} + {e^x} + 2022\)

D. \({x^2} + {e^x}\)

a) Cho hàm số \(f(x) = {x^2} + {e^{ - x}}\). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) sao cho F(0) = 2023

b) Cho hàm số \(g(x) = \frac{1}{x}\). Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số g(x) trên khoảng \((0; + \infty )\) sao cho G(1) = 2023

Tính đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = x{e^x}\), suy ra nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\).

Tìm

a) \(\int {{x^5}dx} \)

b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}dx} \) \(\left( {x > 0} \right)\)

c) \(\int {{7^x}dx} \)

d) \(\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}dx} \)

Tìm

a) \(\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx} \)

b) \(\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx} \)

c) \(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)dx} \)

d) \(\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)

Tìm

a) \(\int {x{{\left( {2x - 3} \right)}^2}dx} \)

b) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \)

c) \(\int {{{\tan }^2}xdx} \)

d) \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx\)

Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ \(h'\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ \({v_0} = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì tăng tốc với gia tốc không đổi \(a = 2{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\). Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C\)
B. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + \frac{1}{x} + C} \)
C. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3} + C\)
D. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C\)

Tìm:

a) \(\int {\left[ {4{{\left( {2 - 3x} \right)}^2} - 3\cos x} \right]dx} \)

b) \(\int {\left( {3{x^3} - \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)dx} \)

c) \(\int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \)

d) \(\int {\left( {{3^2}x - 2 + 4\cos x} \right)dx} \)

e) \(\int {\left( {4\sqrt[5]{{{x^4}}} + \frac{3}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)dx} \)

g) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx} \)

Tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\). Từ đó suy ra nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Cho \(f\left( x \right) = {x^2}\ln x\) và \(g\left( x \right) = x\ln x\). Tính \(f'\left( x \right)\) và \(\int {g\left( x \right)dx} \).

Tìm:

a) \(\int {\left( {2\cos x + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)} dx\);                            b) \(\int {\left( {3\sqrt x  - 4\sin x} \right)} {\rm{ }}dx\).

Tìm:

a) \(\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx\);

b) \(\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}} {\rm{ }}dx\).

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 - 9,8t (m/s).

Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 3 giây.

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Cho \(F\left( u \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( u \right)\) trên khoảng \(K\) và \(u\left( x \right),{\rm{ x}} \in {\rm{J}}\), là hàm số có đạo hàm liên tục, \(u\left( x \right) \in K\) với mọi \({\rm{x}} \in {\rm{J}}\). Tìm \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)}  \cdot u'\left( x \right)dx\).

Áp dụng: Tìm \(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx} \) và \(\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} \).

Tìm:

a) \(\int {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx\);

b) \(\int {\left( {3 + 2{{\sin }^2}x} \right)} {\rm{ }}dx\).

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\sin ^2}\frac{x}{2}\);

b) \(y = {e^{2x}} - 2{x^5} + 5\).

a) \(\int\limits_0^3 {\left| {3 - x} \right|dx} \);

b) \(\int\limits_0^2 {\left( {{e^x} - 4{x^3}} \right)dx} \)

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \).

Hàm số \(y = \log x\) là nguyên hàm của hàm số:

A. \(y = \frac{1}{x}\).

B. \(y = \frac{1}{{x\ln 10}}\).

C. \(y = \frac{{\ln 10}}{x}\).

D. \(y = \frac{1}{{x\log 10}}\).

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3} - 3{{\rm{x}}^2}\).

a) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {4{x^3}dx}  - \int {3{{\rm{x}}^2}dx} \).

b) \(f'\left( x \right) = 12{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}\).

c) \(f'\left( x \right) = {x^4} - {x^3}\).

d) \(\int {f\left( x \right)dx}  = {x^4} + {x^3} + C\).

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\).

a) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\sin xdx}  + \int {\cos xdx} \).

b) \(f'\left( x \right) = \cos x - \sin x\).

c) \(f'\left( x \right) + f\left( x \right) = \cos x\).

d) \(\int {f\left( x \right)dx}  =  - \cos x + \sin x + C\). 

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\).

a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 3{\rm{x}} + 2\).

b) \(f'\left( x \right) = 2{\rm{x}} + 3\).

c) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x + 2} \right)dx} .\int {\left( {x + 1} \right)dx} \).

d) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2{\rm{x}} + C\).

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 2\sin x\);

b) \(f\left( x \right) = \cos x + {x^3}\);

c) \(f\left( x \right) = \frac{{ - {x^4}}}{2} - 3\cos x\).

Tìm:

a) \(\int {{2^x}\ln 2dx} \);

b) \(\int {2x\cos \left( {{x^2}} \right)dx} \);

c) \(\int {{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)dx} \).

Tìm \(\int {\frac{{{x^2} + 7{\rm{x}} + 12}}{{x + 3}}dx} \) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^7} + 8}}{x}\).

a) \(f\left( x \right) = {x^6} + \frac{8}{x}\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {{x^6}dx}  - \int {\frac{8}{x}dx} \).

c) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {{x^6}dx}  + \int {\frac{8}{x}dx} \).

d) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \frac{{{x^7}}}{7} + 8\ln \left| x \right|\).