Cho \(a > b > 0\), chứng minh rằng
a) \({a^2} > ab\) và \(ab > {b^2}\);
b) \({a^2} > {b^2}\) và \({a^3} > {b^3}\).
Chú ý: Tính chất “Với \(a > b > 0\) thì \({a^2} > {b^2}\) và \({a^3} > {b^3}\)” thường hay dùng trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức.
a) Với ba số a, b, c và \(c > 0\) ta có: \(a > b\) thì \(ac > bc\).
b) Nếu \(a > b,b > c\) thì \(a > c\).
a) Vì \(a > b > 0\) nên:
+ \(a.a > ab\), suy ra \({a^2} > ab\).
+ \(a.b > b.b\), suy ra \(ab > {b^2}\).
b) Theo ý a và tính chất bắc cầu ta có: \({a^2} > {b^2}\).
Do đó, \({a^2}.a > {b^2}.a\) và \({b^2}.a > {b^2}.b\).
Suy ra \({a^3} > {b^3}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Hãy chọn câu sai:
Cho \(a + 1 \le b + 2\). So sánh $2$ số \(2a + 2\) và \(2b + 4\) nào dưới đây là đúng?
Cho \(a > b\) và \(c > 0\), chọn kết luận đúng.
Cho bất đẳng thức \( - 2 < 5.\)
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với 7 rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào?
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với -7 rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào?
Thay ? trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp (<, >) để được khẳng định đúng.
a) \(13.\left( { - 10,5} \right)\) ? \(13.11,2;\)
b) \(\left( { - 13} \right).\left( { - 10,5} \right)\) ? \(\left( { - 13} \right).11,2.\)
Thay mỗi ? sau bằng dấu thích hợp (>;<):
a) 3 > 2
3.17 ? 2.17
b) – 10 < - 2
(-10).5 ? (-1).5
c) 5 > 3
5.(-2) ? 3.(-2)
d) -10 < -2
(-10).(-7) ? (-2).(-7)
Hãy so sánh: (-163).(-75)15 và (-162).(-75)15
Cho hai số m và n thoả mãn 0 < m2 < n2. Chứng tỏ \(\frac{3}{2}\)m2 < 2n2
Cho biết -10m\( \le \) -10n. Hãy so sánh m và n.
Cho các số thực x, y, z biết x < y. Khẳng định nào sau đây sai?
A. x + z < y + z
B. xz < yz nếu z âm
C. xz < yz nếu z dương
D. x – z < y - z
Cho bất đẳng thức \(a > b\) và số thực \(c > 0\).
a. Xác định dấu của hiệu: \(ac - bc\).
b. Hãy so sánh: \(ac\) và \(bc\).
Cho \(a \ge b\). Chứng minh: \(5b - 2 \le 5a - 2\).
Cho bất đẳng thức \(a > b\) và số thực \(c < 0\).
a. Xác định dấu của hiệu: \(ac - bc\).
b. Hãy so sánh: \(ac\) và \(bc\).
Cho \(a \le 1\). Chứng minh: \({\left( {a - 1} \right)^2} \ge {a^2} - 1\).
Chọn dấu thích hợp (>,<) cho từng ô “…” . Trong mỗi trường hợp, có nhận xét gì về chiều của bất đẳng thức thu được với chiều của bất đẳng thức ở dòng ngay phía trên?
a) \(2 < 5\)
\(2.4\) … \(5.4\)
\(2.7\) … \(5.7\)
b) \( - 3 < 1\)
\( - 3.8\) … \(1.8\)
\( - 3.2\) … \(1.2\)
c) \( - 1 > - 4\)
\( - 1.12\) … \( - 4.12\)
\( - 1.5\) … \( - 4.5\)
Không thực hiện phép tính, hãy sắp xếp các số sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
\(4\sqrt 3 ,4\sqrt 2 ,4\sqrt 5 ,8.\)
a) Xét bất đẳng thức \(6 < 11\). Nhân hai vế của bất đẳng thức với \( - 4\) và so sánh các kết quả, ta được bất đẳng thức nào?
b) Xét bất đẳng thức \( - 4 < 2\). Nhân hai vế của bất đẳng thức với \( - 7\) và so sánh kết quả, ta được bất đẳng thức nào?
c) Xét bất đẳng thức \( - 3 > - 5\). Nhân hai vế của bất đẳng thức với \( - 12\) và so sánh kết quả, ta được bất đẳng thức nào?
Trong mỗi trường hợp, bất đẳng thức thu được sau khi nhân có cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu hay không?
Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?
a) \( - 3{x^2} \le 0\) với mọi số thực \(x\);
b) Vì \(5 > - 3\) nên \(\frac{5}{a} > - \frac{3}{a}\) với mọi số thực \(a \ne 0\).
Hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết rằng chiều rộng của hình chữ nhật lớn hơn 5cm. Bạn Mai kết luận là chu vi của hình chữ nhật lớn hơn 30cm. Phát biểu của bạn Mai có đúng không? Vì sao?
Cho \(a - 2 \le b - 1\). So sánh \(2\) số \(2a - 4\) và \(2b - 2\) nào dưới đây là đúng?
Cho $a,b$ bất kì. Chọn câu đúng.
Cho \(a,b\) bất kì. Chọn câu đúng nhất.
Cho \( - 2018a < - 2018b\). Khi đó
Cho \( - 2020a > - 2020b\). Khi đó:
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Với mọi \(a,b,c\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
Cho \(a \ge b > 0\). Khẳng định nào đúng?
Cho \(a,b\) là các số thực dương. Chọn khẳng định đúng nhất?
