Giải thích vì sao nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\).
Áp dụng phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \({x^2} - 2x - 3\)
b) \(3{x^2} + 5x - 2\)
Bước 1: Biến đổi vế trái để xuất hiện tổng và tích của \({x_1},{x_2}\).
Bước 2: Thay hệ thức Viète vào biểu thức vừa biến đổi.
Do phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) nên áp dụng định lý Viète, ta có:
\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)
Ta lại có:
\(\begin{array}{l}VT = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = a\left( {{x^2} - x.{x_2} - x.{x_1} + {x_1}.{x_2}} \right)\\ = a\left[ {{x^2} - x\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}.{x_2}} \right]\\ = a\left[ {{x^2} - x.\frac{{ - b}}{a} + \frac{c}{a}} \right]\\ = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right)\\ = a{x^2} + bx + c\\ = VP(dpcm)\end{array}\)
a) Ta có \(a - b + c = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = - 1;{x_2} = 3\).
Vậy \({x^2} - 2x - 3 = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\)
b) Ta có: \(\Delta = {5^2} - 4.3.\left( { - 2} \right) = 49 > 0\)
Phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {49} }}{{2.3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\); \({x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {49} }}{{2.3}} = \frac{{ - 12}}{6} = - 2\).
Vậy \(3{x^2} + 5x - 2 = 3.\left( {x - \frac{1}{3}} \right)\left( {x + 2} \right)\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2\).
Từ kết quả HĐ1, hãy tính \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\).
Không giải phương trình, hãy tính biệt thức \(\Delta \) (hoặc \(\Delta \)’) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương tình bậc hai sau:
a) \(2{x^2} - 7x + 3 = 0\);
b) \(25{x^2} - 20x + 4 = 0\);
c) \(2\sqrt 2 {x^2} - 4 = 0\).
Tròn nói: Không cần giải, tớ biết ngay tổng và tích hai nghiệm của phương trình \({x^2} - x + 1 = 0\) đều bằng 1. Ý kiến của em thế nào?
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:
a) \({x^2} - 12x + 8 = 0\);
b) \(2{x^2} + 11x - 5 = 0\);
c) \(3{x^2} - 10 = 0\);
d) \({x^2} - x + 3 = 0\).
Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì đa thức \(a{x^2} + bx + c\) được phân tích được thành nhân tử sau: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\).
Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \({x^2} + 11x + 18\);
b) \(3{x^2} + 5x - 2\).
Phương trình bậc hai có hai nghiệm \({x_1} = 13\) và \({x_2} = 25\) là
A. \({x^2} - 13x + 25 = 0\).
B. \({x^2} - 25x + 13 = 0\).
C. \({x^2} - 38x + 325 = 0\).
D. \({x^2} + 38x + 325 = 0\).
Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\). Khi đó, giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2\) là
A. 13.
B. 19.
C. 25.
D. 5.
Cho phương trình \({x^2} - 11x + 30 = 0\). Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
a) \(x_1^2 + x_2^2\);
b) \(x_1^3 + x_2^3\).
Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \({x^2} - 5x + 3 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính:
a) \(x_1^2 + x_2^2\);
b) \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\).
Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\).
Tính \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}.{x_2}\).
Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:
a) \({x^2} - 2\sqrt 7 x + 7 = 0\)
b) \(15{x^2} - 2x - 7 = 0\)
c) \(35{x^2} - 12x + 2 = 0\)
Cho phương trình \({x^2} + 4x - 21 = 0\). Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:
a) \(\frac{2}{{{x_1}}} + \frac{2}{{{x_2}}}\)
b) \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}.{x_2}\)
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:
a) \(3{x^2} - 9x + 5 = 0\)
b) \(25{x^2} - 20x + 4 = 0\)
c) \(5{x^2} - 9x + 15 = 0\)
d) \(5{x^2} - 2\sqrt 3 x - 3 = 0\)
Cho phương trình \({x^2} - 19x - 5 = 0\). Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:
a) A = \({x_1}^2 + {x_2}^2\)
b) B = \(\frac{2}{{{x_1}}} + \frac{2}{{{x_2}}}\)
c) C = \(\frac{3}{{{x_1} + 2}} + \frac{3}{{{x_2} + 2}}\)
Gọi S và P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm của phương trình \({x^2} + 5x - 10 = 0\). Khi đó giá trị của S và P là
A. S = 5; P = 10.
B. S = - 5; P = 10.
C. S = -5; P = -10.
D. S = 5; P = -10.
Cho phương trình \({x^2} + 7x - 15 = 0\). Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Khi đó giá trị của biểu thức \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2}\)là
A. 79
B. 94
C. -94
D. -79
Cho phương trình \(2{x^2} - 7x + 6 = 0\). Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:
A = \(\left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} + 2{x_1}} \right) - {x_1}^2{x_2}^2\)
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\). Giả sử phương trình đó có 2 nghiệm là \({x_1},{x_2}.\) Tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\) theo các hệ số \(a,b,c.\)
Cho phương trình \( - 4{x^2} + 9x + 1 = 0\).
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}.\)
b) Tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\).
c) Tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\).
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) thì:
a) \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};{x_1}.{x_2} = - \frac{c}{a}\)
b) \({x_1} + {x_2} = \frac{c}{a};{x_1}.{x_2} = - \frac{b}{a}\)
c) \({x_1} + {x_2} = \frac{b}{a};{x_1}.{x_2} = - \frac{c}{a}\)
d) \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)
Giải thích vì sao nếu \(ac < 0\) thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có 2 nghiệm là 2 số trái dấu nhau.
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\). Giả sử phương trình có nghiệm x1, x2, so sánh S = x1 + x2 và \( - \frac{b}{a}\), \(P = {x_1}{x_2}\) và \(\frac{c}{a}\).
Không giải phương trình, chứng minh phương trình \({x^2} + 3x - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và tính M = x1 + x2 - x1x2 .
Cho phương trình \({x^2} - 2\sqrt 5 x + 3 = 0\)
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
b) Tính \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};{x_1}^2 + {x_2}^2.\)
Với mỗi phương trình ở Bảng 6.6:
a) Tìm các số thích hợp cho mỗi ô ? ở cột \(\Delta \).
b) Nếu phương trình có nghiệm \({x_1};{x_2}\), không giải phương trình, hãy tìm các số thích hợp cho mỗi ô ? ở cột S và P.
Cho phương trình \(3{x^2} - 10x + 3 = 0\).
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\).
b) Tính \((2{x_1} - 1)(2{x_2} - 1);\left| {{x_1} - {x_2}} \right|.\)
Cho phương trình \(3{x^2} - x - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
A = \(\left( {3{x_1} - 1} \right)(3{x_2} - 1)\)
B = \({x_1}^2 + {x_2}^2\)
Cho phương trình bậc hai (ẩn x): \({x^2} - 4x + m - 2 = 0\).
a) Tìm điều kiện của ẩn m để phương trình có nghiệm.
b) Với các giá trị m tìm được ở câu a, gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m: \(A = x_1^2 + x_2^2;B = x_1^3 + x_2^3\).
Giả sử phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm là \({x_1}\), \({x_2}\) đều khác 0. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{1}{{{x_1}}}\) và \(\frac{1}{{{x_2}}}\).
