Lý thuyết tích vô hướng của hai vectơ


1. Định nghĩa

1.Định nghĩa

Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\)  khác vectơ \(\vec{0}\). Tích vô hướng của \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là một số được ký hiệu là \(\vec{a}\).\(\vec{b}\), được xác định bởi công thức sau :

\(\vec{a}\) .\(\vec{b}\) = |\(\vec{a}\)|.|\(\vec{b}\)|cos(\(\vec{a}\), \(\vec{b}\)) 

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :

Với ba vectơ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) bất kì và mọi số k ta có :

\(\vec{a}\) .\(\vec{b}\) =  \(\vec{b}\).\(\vec{a}\) (tính chất giao hoán)

\(\vec{a}\).( \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)) =  \(\vec{a}\). \(\vec{b}\) + \(\vec{a}\). \(\vec{c}\) ( tính chất phân phối)

(k.\(\vec{a}\)).\(\vec{b}\) =  k(\(\vec{a}\), \(\vec{b}\)) = \(\vec{a}\).(k\(\vec{b}\))

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ (0; \(\vec{i}\); \(\vec{j}\)), cho hai vec tơ \(\vec{a}\) = (a1 ; a2 ), \(\vec{b}\)= (b1 ; b2 ). Khi đó tích vô hướng \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là:

\(\vec{a}\) .\(\vec{b}\) =  a1b1   + a2 b

 

 Nhận xét: Hai vectơ \(\vec{a}\) = (a1 ; a), \(\vec{b}\)= (b1 ; b) khác vectơ \(\vec{0}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

         a1b1   + a2 b2 = 0

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ  \(\vec{a}\) = (a1 ; a) được tính theo công thức:


\(\vec{a}\) = \(\sqrt{a_{1}^{2}+ {a_{2}}^{2}}\)

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu \(\vec{a}\) =(a1 ; a), \(\vec{b}\)= (b1 ; b) khác vectơ \(\vec{0}\) thì ta có:

cos(\(\vec{a}\), \(\vec{b}\)) = \(\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a|.|\vec{b}}|}\) = \(\frac{{a_{1}.b_{1}+ a_{2}.b_{2}}}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}.\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA ) và B(xB ; yB ) được tính theo công thức :

AB = \(\sqrt{({x_{B}-x _{A}})^{2}+({y_{B}-y_{A})}^{2}}\)

Đã có lời giải Sách bài tập Toán lớp 10 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>>>> Học tốt lớp 10 các môn Toán, Lý, Anh, Hóa năm 2018 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu