Bài 8 trang 98 sgk hình học 11


Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD ...

Bài 8. Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}.\) Chứng minh rằng: 

 a) \(AB ⊥ CD\);

 b) Nếu \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) thì \(MN ⊥ AB\) và \(MN ⊥ CD\).

Giải

(h.3.21)

a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)

\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)

\(=AB.AD.\cos\widehat{BAD}-AB.AC.\cos\widehat{BAC} =0\)

\(\Rightarrow  AB ⊥ CD\).
b) \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN},\)  (1)
    \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.\)   (2)

 Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được: \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).\)

Ta có \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}={1 \over 2}\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )\)

\(= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - A{B^2})\)

\(= {1 \over 2}(AB.AD.\cos\widehat{BAD}+AB.AC.\cos\widehat{BAC}-AB^2)\)

\(={1 \over 2}(AB.AD.\cos60^0+AB.AC.\cos60^0-AB^2)\)

\(={1 \over 2}\left({1 \over 2}AB^2+{1 \over 2}AB^2-AB^2\right)=0\) \(\Rightarrow  AB ⊥ MN\).

Chứng minh tương tự ta được: \(CD ⊥ MN\).

loigiaihay.com

 

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu