Bài 6 trang 119 sgk Hình học 11


Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD...

Bài 6. Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ diện \(ABCD\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\) thì \(AC = BD\) và \(AD = BC\).

Giải

(H.3.67) 

Qua \(I\) kẻ đường thẳng \(d // CD\), lấy trên \(d\) điểm \(E, F\) sao cho \(IE = IF = \frac{CD}{2}\) (\(I\) là trung điểm của \(EF\)). \(IJ\) vuông góc với \(CD\) \(\Rightarrow IJ\) vuông góc với \(EF\), mà \(IJ\) cũng vuông góc với \(AB\Rightarrow IJ \bot (AEBF)\).

Ta có \(CDFE\) là hình bình hành có \(IJ\) là đường trung bình

Do đó \(CE\) và \(DF\) cùng song song với \(IJ\) 

Suy ra \(CE\) và \(DF\) cùng vuông góc với mp \((AEBF)\) 

 \(\Rightarrow DF ⊥ AF, CE ⊥ IE\).

\(\Delta AIF = \Delta BIE(c.g.c)\) suy ra: \(AF=BE\)

Xét \(∆DFA\) và \(∆CEB\) có:

  +) \(\widehat E = \widehat F( = {90^0})\) 

  +) \(AF=BE\)

  +) \(DF=CE\)

\(\Rightarrow ∆DFA=∆CEB(c.g.c)\)

\(\Rightarrow AD = BC\). 

Chứng minh tương tự ta được \(BD = AC\).

loigiaihay.com

 

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu