Bài 8 trang 120 sgk Hình học 11


Cho tứ diện đều ABCD cạnh a...

Bài 8. Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện. 

Giải

(H.3.69) 

Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\),

\(\Delta BAC = \Delta BDC(c.c.c)\) \( \Rightarrow AN = DN\) (hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

Tam giác \(AND\) cân tại \(N\), nên \(MN\) vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao do đó \(MN\bot AD\)  (1)

Chứng minh tương tự ta được: \(MN\bot BC\)          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MN\) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(AD\)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(AN={{a\sqrt 3 } \over 2}\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AMN\) ta có:

\(A{N^2} = M{N^2} + A{M^2}\)

\(MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}}  = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4}}  = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu