Bài 5 trang 119 SGK Hình học 11


Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\).

a) Chứng minh rằng \(B'D\) vuông góc với mặt phẳng \((BA'C')\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((BA'C')\) và \((ACD')\).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(CD'\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(B'D\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mp\((BA'C')\).

b) Chứng minh \((BA'C') // (ACD')\). Xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Quảng cáo
decumar

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \, \bot  \, A'C'\\
\left\{ \begin{array}{l}
A'C' \,  \bot  \, B'D'\\
A'C'  \, \bot  \, BB'
\end{array} \right. \Rightarrow A'C'  \, \bot  \, \left( {BB'D'D} \right)\\
\Rightarrow A'C' \bot B'D\\
DC  \, \bot  \, \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow DC \,  \bot  \, BC'\\
\left\{ \begin{array}{l}
BC' \,  \bot \,  B'C\\
BC'  \, \bot \,  DC
\end{array} \right. \Rightarrow BC'  \, \bot  \, \left( {A'B'CD} \right)\\
\Rightarrow BC'  \, \bot  \, B'D\\
\left\{ \begin{array}{l}
B'D  \, \bot  \, A'C'\\
B'D  \, \bot  \, BC'
\end{array} \right. \Rightarrow B'D \,  \bot  \, \left( {BA'C'} \right)
\end{array}\)

Cách khác:

Ta có \(B'A' = B'B = B'C'\)

\( \Rightarrow B'\) thuộc trục của tam giác \(A'BC'\)            (1)

\(DA' = DB = DC'\) (đường chéo các hình vuông bằng nhau)

\(\Rightarrow D\) cũng thuộc trục của tam giác \(A'BC' \)    (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow B'D\) là trục của \((BA'C')\) \( \Rightarrow B'D\bot (BA'C')\). 

b) Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
BC'//AD'\\
A'C'//AC\\
BC',A'C' \subset \left( {BA'C'} \right)\\
AD',AC \subset \left( {ACD'} \right)
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)

Mà \(B'D \,  \bot  \, \left( {BA'C'} \right)\) nên \(B'D  \, \bot  \, \left( {ACD'} \right)\)

Gọi \(G = B'D \cap \left( {BA'C'} \right);\,\,H = B'D \cap \left( {ACD'} \right) \)

\(\Rightarrow d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = GH\)

Gọi \(O, O'\) lần lượt là tâm các hình vuông \(ABCD, A'B'C'D'\) ta có:

\(BO'//D'O\) nên \(O'G//D'H\), mà \(O'\) là trung điểm của \(B'D' \Rightarrow G\) là trung điểm của \(B'H\).

\( \Rightarrow GB'=GH\)  (3)

\(BO'//D'O\) nên \(OH//GB\), mà \(O\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow H\) là trung điểm của \(DG\).

\( \Rightarrow HG=HD\)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(GB' = GH = HD \Rightarrow GH = \dfrac{1}{3}B'D\)

Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\) nên:

\(\begin{array}{l}
B'D = \sqrt {B'{B^2} + B{D^2}} \\
= \sqrt {B'{B^2} + B{A^2} + A{D^2}} \\
= \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2}} \\
= a\sqrt 3
\end{array}\)

\( \Rightarrow HG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

c) \(BC' ⊂ (BA'C')\); \(CD' ⊂ (ACD')\), mà \( \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)

Vậy \(d(BC', CD') = d((BA'C'),(ACD'))= \dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 27 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.