Bài 5 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bình chọn:
3.5 trên 2 phiếu

Bài 5. Từ một điểm M nằm nằm bên ngoài mặt cầu S( O; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.

Bài 5. Từ một điểm \(M\) nằm nằm bên ngoài mặt cầu \(S( O; r)\) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại \(A, B\) và \(C, D\).

a) Chứng minh rằng \(MA.MB = MC.MD\).

b) Gọi \(MO = d\). Tính \(MA.MB\) theo \(r\) và \(d\).

Giải:

a) Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng\((P)\) cắt mặt cầu \(S(O;r)\) theo một đường tròn tâm \(I\), là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên mặt phẳng \((P)\).

Xét hai tam giác \(MAD\) và \(MCB\) có:

+) \(\widehat B = \widehat D\) (Hai góc cùng chắn một cung)

+) \(\widehat M\)

\( \Rightarrow \Delta MAD\) đồng dạng \(\Delta MCB\).

\(\Rightarrow{{MA} \over {MC}} = {{MD} \over {MB}}\Rightarrow MA.MB=MC.MD\)

b) Đặt \(MO = d\), ta có \(OI\) vuông góc với \((P)\) và ta có:

\(O{M^2} = M{I^2} = O{I^2};O{A^2} = O{I^2} + I{A^2}\)

Hạ \(IH\) vuông góc \(AB\), ta có \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(MA = MH - HA\); \(MB = MH + HB = MH + HA\).

\(MA.MB = M{H^2} - H{A^2}\)

                 \(\eqalign{
& = (M{H^2} + H{I^2}) - (H{A^2} + I{H^2}) \cr
& = M{I^2} - I{A^2} \cr
& = (M{I^2} + O{I^2}) - (I{A^2} + O{I^2}) \cr
& = O{M^2} - O{A^2} \cr
& = {d^2} - {r^2} \cr} \)

Vậy \(MA.MB = {d^2} - {r^2}\).

loigiaihay.com

 


Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan