Bài 10 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12


Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đếu nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó

Bài 10. Cho hình chóp \(S.ABC\) có bốn đỉnh đếu nằm trên một mặt cầu, \(SA = a, SB = b, SC = c\) và ba cạnh \(SA, SB, SC\) đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó

Giải:

Gọi \(I\) là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác \(S.ABC\). Hạ \(IJ\) vuông góc \((SAB)\), vì \(J\) cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\) nên \(J\) cũng cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\).

Vì tam giác \(SAB\) vuông đỉnh \(S\) nên \(J\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(SJ ={1 \over 2}AB = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}\)

Do \(SC\) vuông góc \((SAB)\) nên \(IJ // SC\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(SC\), ta có \(SH = IJ = {c \over 2}\).

Do vậy, \(I{S^2} = I{J^2} + S{J^2} = {{({a^2} + {b^2} + {c^2})} \over 4}\) và  bán kính hình cầu ngoại tiếp \(S.ABC\) là 

\(r = IS = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Diện tích mặt cầu là:

\(S = 4\pi {r^2} = \pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})\)

Thể tích khối cầu là :
\(V = {4 \over 3}\pi {r^3} = {1 \over 6}\pi {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^{{3 \over 2}}}\).
loigiaihay.com

 
 
 

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu