Câu hỏi
Tập xác định của hàm số \(y=\sqrt{\left| {{x}^{2}}+3x-4 \right|-x+8}\) là:
- A \(D=\left( -\infty ;8 \right]\)
- B \(D=\left( -\infty ;8 \right)\)
- C \(D=R\)
- D Đáp án khác
Phương pháp giải:
Điều kiện xác định của hàm số là \(\left| {{x}^{2}}+3x-4 \right|-x+8\ge 0\) Giải bất phương trình \(\left| {{x}^{2}}+3x-4 \right|-x+8\ge 0\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định của hàm số là \(\left| {{x}^{2}}+3x-4 \right|-x+8\ge 0\)
Giải bất phương trình \(\left| {{x}^{2}}+3x-4 \right|-x+8\ge 0\Leftrightarrow \left| {{x}^{2}}+3x-4 \right|\ge x-8\)
TH1: Nếu \(x\le 8\) ta có VP\(\le \) 0, bất phương trình luôn đúng, suy ra \(x\le 8\) là nghiệm của bất phương trình
TH2: Nếu \(x>8\), ta có:
\(\left| {{x^2} + 3x - 4} \right| \ge x - 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 4 \ge x - 8\\{x^2} + 3x - 4 \le - x + 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 4 \ge 0\\{x^2} + 4x - 12 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 0\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 6} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\forall x \in R\\ - 6 \le x \le 2\end{array} \right.\)
Kết hợp điều kiện \(x>8\) ta có \(x>8\) là nghiệm của bất phương trình.
Kết hợp hai TH ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(R\)
Vậy hàm số xác định với mọi \(x\).
Chọn C.