Phương pháp giải:

- Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1\).

- Tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(y' =  - {x^2} + \left( {3m - 1} \right)x - m\left( {2m - 1} \right)\).

+ Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {3m - 1} \right)^2} - 4m\left( {2m - 1} \right) > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m - 1\\{x_1}{x_2} = m\left( {2m - 1} \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 > 0\\{\left( {3m - 1} \right)^2} - 4m\left( {2m - 1} \right) = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\{m^2} - 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\).

Vậy tổng hai tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng 2.

Chọn A.