Câu hỏi

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1.\) Xét các điểm \(A\left( {a;b} \right)\) và \(B\) thuộc elip sao cho tam giác \(OAB\) cân cân tại \(O\)  và có diện tích đạt giá trị lớn nhất. Tính tích \(ab\) biết \(a;b\) là hai số dương và điểm \(B\) có hoành độ dương.

  • A \(ab = \frac{1}{2}\)         
  • B \(ab = 3\)
  • C \(ab = 1\)    
  • D \(ab = \frac{1}{3}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Lời giải chi tiết:

Vì \(a,b > 0\) nên điểm \(A\) nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Tam giác OAB cân và điểm B có hoành độ dương nên điểm B đối xứng với điểm A qua trục hoành, hay \(B\left( {a; - b} \right).\)

Diện tích tam giác OAB là: \(\frac{1}{2}.a.2b = ab.\)

Vì A thuộc elip nên: \(\frac{{{a^2}}}{4} + {b^2} = 1.\)

Theo Cauchy ta có: \(\frac{{{a^2}}}{4} + {b^2} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4}.{b^2}}  = ab \Rightarrow ab \le 1.\)

Vậy diện tích tam giác OAB lớn nhất là \(1\)  khi \(a = \sqrt 2 ,b = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Vậy khi đó \(ab = 1.\)

Chọn C.


Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay