Câu hỏi
Chọn đáp án đúng nhất:
Câu 1: Tìm \(m\) thỏa mãn bất phương trình \({x^2} + 2mx - m + 2 > 0\) nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).
- A \( - 2 < m < 1\)
- B \( - 1 < m < 2\)
- C \( 1 < m < 2\)
- D \( - 2 < m < - 1\)
Phương pháp giải:
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\)
- Nếu \(\Delta < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.
- Nếu \(\Delta = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x = - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.
- Nếu \(\Delta > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng \(\left( {{x_1};\,{x_2}} \right)\) và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,{x_2}} \right).\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\Delta ' = {m^2} + m - 2\)
Bất phương trình \({x^2} + 2mx - m + 2 > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
\( \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 < 0 \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)\left( {m - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 1\)
Vậy với \( - 2 < m < 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn A.
Câu 2: Giải bất phương trình \(\sqrt {x + 9} < x + 3\)
- A \(\left( { - 3; + \infty } \right).\)
- B \(\left( { - \infty ; - 5} \right).\)
- C \(\left( { - \infty ; - 3} \right).\)
- D \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Phương pháp giải:
\(\sqrt {f\left( x \right)} < g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) < {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\sqrt {x + 9} < x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 9 \ge 0\\x + 3 > 0\\x + 9 < {x^2} + 6x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 9\\x > - 3\\{x^2} + 5x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 3\\\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\)
Vậy tập nghiệm của BPT là \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Chọn D.
Câu 3: Cho các góc \(\alpha ,\beta \) thỏa mãn \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2} < \beta < \pi \) và \(\sin \alpha = \frac{1}{3},\sin \beta = \frac{2}{3}\). Tính \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\)
- A \(\frac{{4\sqrt 2 + \sqrt 5 }}{9}\)
- B \(\frac{{4\sqrt 2 + \sqrt 5 }}{3}\)
- C \(\frac{{4\sqrt 2 - \sqrt 5 }}{9}\)
- D \(\frac{{\sqrt 2 - \sqrt 5 }}{3}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) để tính \(\cos \alpha ,\cos \beta \), từ đó tính \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\) bằng công thức cộng.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\sin \alpha = \frac{1}{3} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{9} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)
Do \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Ta có \(\sin \beta = \frac{2}{3} \Rightarrow {\sin ^2}\beta = \frac{4}{9} \Rightarrow {\cos ^2}\beta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\)
Do \(\frac{\pi }{2} < \beta < \pi \Rightarrow \cos \beta < 0 \Rightarrow \cos \beta = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
Vậy \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{3}.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{2}{3} = \frac{{4\sqrt 2 - \sqrt 5 }}{9}\)
Chọn C.