Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc ABC lần lượt cắt các đoạn thẳng AM, AC tại điểm D, E. Chứng minh \(\frac{{EC}}{{EA}} = 2\frac{{DM}}{{DA}}\).
Dựa vào tính chất đường phân giác để chứng minh yêu cầu bài toán.
Tam giác ABC có đường phân giác BE nên ta có: \(\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{BA}}\)
Mà M là trung điểm của BC nên \(BC = 2BM\)
\( \Rightarrow \frac{{EC}}{{EA}} = 2\frac{{BM}}{{BA}}\,\,\left( 1 \right)\)
Tam giác ABM có đường phân giác BD nên ta có: \(\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{BM}}{{BA}}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{EC}}{{EA}} = 2\frac{{DM}}{{DA}}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tia phân giác At của góc xAy (H.4.20). Nếu lấy điểm B trên tia Ax, điểm C trên tia Ay, ta được tam giác ABC. Giả sử tia phân giác At cắt BC tại điểm D.
Khi lấy B và C sao cho AB = AC (H.4.20a), hãy so sánh tỉ số \(\dfrac{{DB}}{{DC}}\) và \(\dfrac{{AB}}{{AC}}\)
Cho tia phân giác At của góc xAy (H.4.20). Nếu lấy điểm B trên tia Ax, điểm C trên tia Ay, ta được tam giác ABC. Giả sử tia phân giác At cắt BC tại điểm D
Khi lấy B và C sao cho AB = 2 cm và AC = 4 cm (H.4.20b), hãy dùng thước có vạch chia đến milimét để đo độ dài các đoạn thẳng DB, DC rồi so sánh hai tỉ số \(\dfrac{{DB}}{{DC}}\) và \(\dfrac{{AB}}{{AC}}\)
Tính độ dài x trên Hình 4.23
Trong H.4.19, AD là đường phân giác của tam giác ABC. Hai tỉ số \(\dfrac{{DB}}{{DC}}\) và \(\dfrac{{AB}}{{AC}}\) có bằng nhau không?
Tính độ dài x trên Hình 4.24.
Cho tam giác ABC. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D. Tính độ dài đoạn thẳng DC biết AB = 4,5 m; AC = 7,0 m và CB = 3,5 m (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 15 cm, BC = 10 cm, đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D. Khi đó, đoạn thẳng AD có độ dài là
A. 3 cm.
B. 6 cm.
C. 9 cm.
D. 12 cm.
Tính độ dài x trong Hình 5.12
Cho tam giác ABC, trung tuyến AI. Tia phân giác của góc AIB và tia phân giác góc AIC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN//BC.
Cho \(\Delta ABC\) có AD, BE, CF lần lượt là đường phân giác của góc A, góc B, góc C \(\left( {D \in BC,E \in AC,F \in AB} \right)\). Chứng minh rằng \(\frac{{AE}}{{EC}}.\frac{{CD}}{{DB}}.\frac{{BF}}{{FA}} = 1\).
Cho tam giác ABC, phân giác AD \(\left( {D \in BC} \right)\). Kẻ DE//AB\(\left( {E \in AC} \right)\). Chứng minh rằng \(AB.EC = AC.EA\)
Cho \(\Delta ABC\). Tia phân giác góc trong của góc A cắt BC tại D. Cho \(AB = 6,AC = x,BD = 9,BC = 21\). Độ dài x bằng
A. 4
B. 6
C. 12
D. 14
Cho tam giác ABC có AD là tia phân giác của góc BAC. Biết \(AB = 3cm,BD = 4cm,CD = 6cm\). Độ dài AC bằng
A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 4,5cm
Cho hình thoi ABCD có M là trung điểm của AD, đường chéo AC cắt BM tại điểm E (H.5.16)
Tỉ số \(\frac{{EM}}{{EB}}\) bằng
A. \(\frac{1}{3}\)
B. 2
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{2}{3}\)
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE \(\left( {D \in AC,E \in AB} \right)\). Chứng minh DE//BC
Quan sát Hình 4.17 và chọn khẳng định đúng.
A. \(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{BA}}{{AC}}.\)
B. \(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{BC}}{{BA}}.\)
C. \(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{BA}}{{BC}}.\)
D. \(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{AC}}{{AB}}.\)
Quan sát Hình 4.18, biết BI là phân giác của góc B, AB = 12 cm, BC = 15 cm, AC = 9 cm. Độ dài đoạn IA là:
A. 5 cm.
B. 4 cm.
C. 6 cm.
D. 3 cm.
Quan sát Hình 4.19. Tỉ số \(\frac{x}{y}\) bằng
A. \(\frac{1}{7}\).
B. \(\frac{{15}}{7}\)
C. \(\frac{7}{{15}}\)
D. \(\frac{2}{{15}}\)
Quan sát Hình 4.20. Độ dài x, y lần lượt là:
A. x = 16 cm; y = 12 cm.
B. x = 14 cm; y = 14 cm.
C. x = 14,3 cm; y = 10,7 cm.
D. x = 12 cm; y = 16 cm.
Tìm độ dài x trong Hình 4.21.
Cho tam giác ABC. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính độ dài đoạn thẳng DC biết AB = 4,5 m; AC = 7,0 m và CB = 3,5 m (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Cho tam giác ABC, phân giác AD (D ∈ BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EA}}.\)
Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC.
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.
Tính độ dài cạnh \(MQ\) của tam giác \(MPQ\) trong Hình 6.
Tính độ dài \(x\) trong Hình 7.
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 6cm,AC = 8cm,BC = 10cm\). Đường phân giác của góc \(BAC\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(DB\) và \(DC\).
b) Tính tỉ số diện tích giữa \(\Delta ADB\) và \(\Delta ADC\).
Cho tam giác \(MNP\) có \(MD\) là tia phân giác góc \(M\left( {D \in NP} \right)\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. \(\frac{{DN}}{{MN}} = \frac{{DP}}{{MP}}\).
B. \(\frac{{MN}}{{DN}} = \frac{{DP}}{{MP}}\).
C. \(\frac{{DN}}{{MN}} = \frac{{MP}}{{DP}}\).
D. \(\frac{{MN}}{{MP}} = \frac{{DP}}{{DN}}\).
Cho \(\Delta ABC\) biết \(AM\) là đường phân giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
B. \(\frac{{AB}}{{MC}} = \frac{{BM}}{{AC}}\).
C. \(\frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
D. \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AM}}{{AC}}\).
Tính độ dài \(x\) trong Hình 9
a) Quan sát Hình 11, chứng minh \(AK\) là đường phân giác của góc \(A\) trong tam giác \(ABC\).
b) Dựa vào kết quả của câu a, hãy nêu cách vẽ đường phân giác của một góc trong tam giác bằng thước kẻ và eke.
