Tìm các khoảng đơn điệu và các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\);
b) \(y = {x^2}\ln x\).
Ý a:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng \(0\).
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Từ bảng biến thiên suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
Ý b:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng \(0\).
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Từ bảng biến thiên suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow {x^3} - x = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = y\left( { 0} \right) = 3\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\) và \({y_{CT}} = y\left( { - 1} \right) = 2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và \({y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 2\).
b) Tập xác định: \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có \(y' = 2x\ln x + x\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow 2x\ln x + x = 0 \Leftrightarrow \ln x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}; + \infty } \right)\). Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\) và \({y_{CT}} = y\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right) = - \frac{1}{{2e}}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Đồ thị của đạo hàm bậc nhất \(y = f'\left( x \right)\) của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13:
a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.
Cho hàm số \(y = 3{x^4} + 2\left( {m - 2018} \right){x^2} + 2017\) với \(m\) là tham số thực. Tìm giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng \({120^0}\).
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^2} + m.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc ${120^o}$ là:
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A. \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 1\).
B. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\).
C. \(y = - {x^2} + 2x + 1\).
D. \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) có đồ thị hàm số lần lượt ở Hình 6a, Hình 6b. Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của mỗi hàm số đó.
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.
Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = 4{x^3} + 3{x^2}--36x + 6\)
b) \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 7}}{{x - 4}}\)
Đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số y = f(x).
Hình bên là đồ thị của hàm số f’(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và đạo hàm \(f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Sử dụng đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\), hãy cho biết:
a) Các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right)\);
b) Hàm số \(f\left( x \right)\) có cực đại, cực tiểu không? Nếu có, hãy cho biết các điểm cực trị tương ứng.
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 9{x^2} - 48x + 52\);
b) \(y = - {x^3} + 6{x^2} + 9\).
Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = x + \frac{1}{x}\);
b) \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\).
Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng có cực tiểu tại điểm \(x = 0\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = - x\left( {2x - 5} \right),\forall x \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \(f\left( { - 2} \right) < f\left( { - 1} \right)\).
B. \(f\left( 0 \right) > f\left( 2 \right)\).
C. \(f\left( 3 \right) > f\left( 5 \right)\).
D. \(f\left( 3 \right) > f\left( 2 \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như Hình 7. Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là:
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(y = {2^{{x^2} - 1}}\).
a) \(y' = \left( {{x^2} - 1} \right){.2^{{x^2} - 2}}\).
b) \(y' = 0\) khi \(x = - 1,x = 1\).
c) \(y\left( { - 2} \right) = 8,y\left( { - 1} \right) = 1,y\left( 1 \right) = 1\).
d) Trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1, giá trị lớn nhất bằng 8.
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{\rm{x}} + 2\).
a) \(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 3\).
b) \(y' = 0\) khi \(x = - 1,x = 1\).
c) \(y' > 0\) khi \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) và \(y' < 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
d) Giá trị cực đại của hàm số là ${{f}_{C}}=0$.
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 3.
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như Hình 8.
a) \(f'\left( x \right) = 0\) khi \(x = 0,x = 1,x = 3\).
b) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
c) \(f'\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( {0;3} \right)\).
d) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:
a) \(y = - {x^3} - 3{x^2} + 24x - 1\);
b) \(y = {x^3} - 8{x^2} + 5x + 2\);
c) \(y = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 1\);
d) \(y = - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 2\).
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:
a) \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 2}}\);
b) \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 5}}{{3{\rm{x}} + 1}}\);
c) \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \);
d) \(y = x - \ln {\rm{x}}\).
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:
a) \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\);
b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\);
c) \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\);
d) \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}\).
Đạo hàm \(f'\left( x \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như Hình 4. Xét tính đơn điệu và tìm các điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Chứng minh rằng
a) \(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\);
b) \(\ln x \le x - 1\) với mọi \(x > 0\).
Chứng minh rằng:
a) Phương trình \({x^3} + 5{x^2} - 8{\rm{x}} + 4 = 0\) có duy nhất một nghiệm.
b) Phương trình \( - {x^3} + 3{x^2} + 24x - 1 = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Tìm \(m\) để phương trình \(\frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}} = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Đồ thị đạo hàm \(f'\left( x \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) được cho trong Hình 2.
Điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là
A. \(x = - 3\).
B. \(x = - 1\).
C. \(x = 0\).
D. \(x = 1\).
Đồ thị đạo hàm \(f'\left( x \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) được cho trong Hình 3.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng
A. \(\left( { - 4; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2;2} \right)\).
B. \(\left( { - 2;0} \right)\).
C. \(\left( { - 4; - 3} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\).
D. \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{m + 2}}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 1\) (\(m\) là tham số).
Tìm \(m\) để đồ thị hàm số không có cực trị.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - m}}{{{\rm{x}} - 1}}\) (\(m\) là tham số). Tìm \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị.
