Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha $, biết:

a) $\cos \alpha = \frac{1}{5}$ và $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$;

b) $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $.

c) $\tan \alpha = \sqrt 5 $ và $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$;

d) $\cot \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ và $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi $.

Phương pháp giải

- Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác.

- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2} $ nên $\sin \alpha > 0$. Mặt khác, từ ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ suy ra

$\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a} = \sqrt {1 - \frac{1}{{25}}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}$

Do đó, $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{1}{5}}} = 2\sqrt 6 $ và $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}$

b) Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha < 0$. Mặt khác, từ ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ suy ra

$\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = \sqrt {1 - \frac{4}{9}} = -\frac{{\sqrt 5 }}{3}$

Do đó, $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{-\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = -\frac{{2\sqrt 5 }}{5}$ và $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{-\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{\frac{2}{3}}} = -\frac{{\sqrt 5 }}{2}$

c) Ta có: $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$

Ta có: ${\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{{\sqrt 6 }}$

Vì $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha < 0\;$ và $\,\,\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = -\frac{1}{{\sqrt 6 }}$

Ta có: $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha = \sqrt 5 .(-\frac{1}{{\sqrt 6 }}) = -\sqrt {\frac{5}{6}} $

d) Vì $\cot \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\;\,$ nên $\,\,\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - \sqrt 2 $

Ta có: ${\cot ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha + 1}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \sqrt {\frac{2}{3}} $

Vì $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \Rightarrow \sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {\frac{2}{3}} $

Ta có: $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).\left( { - \sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Xem thêm : SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho góc lượng giác có số đo bằng $\frac{{5\pi }}{6}$

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.