Cho hai phân thức \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{1}{{x + 1}}\).

a) Tìm đa thức thích hợp cho mỗi ô ?

\(\frac{1}{x} = \frac{?}{{x\left( {x + 1} \right)}};\)

\(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{?}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\)

b) Em có nhận xét gì về mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức trong câu a?

Chứng tỏ hai phân thức \(\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}b + a{b^2}}}\)  và \(\dfrac{{a - b}}{{ab}}\)  bằng nhau theo hai cách khác nhau.

Xét các phân thức \(P = \dfrac{{{x^2}y}}{{x{y^2}}}\), \(Q = \dfrac{x}{y}\), \(R = \dfrac{{{x^2} + xy}}{{xy + {y^2}}}\) .

a) Các phân thức trên có bằng nhau không? Tại sao?

b) Có thể biến đổi như thế nào nếu chuyển \(Q\) thành \(P\) và \(R\) thành \(Q\).

Tìm đa thức thích hợp thay vào ? trong các đẳng thức sau:

Cho hai phân thức \(\dfrac{1}{{{x^2}y}}\) và \(\dfrac{1}{{x{y^2}}}\)

a) Hãy nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y và nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x.

b) Nhân xét gì về mẫu của hai phân thức thu được.

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\dfrac{5}{{2{{\rm{x}}^2}{y^3}}}\) và \(\dfrac{3}{{x{y^4}}}\)

b) \(\dfrac{3}{{2{{\rm{x}}^2} - 10{\rm{x}}}}\) và \(\dfrac{2}{{{x^2} - 25}}\)

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

\(a)\dfrac{2}{{x - 3y}}\) và \(\dfrac{3}{{x + 3y}}\)

\(b)\dfrac{7}{{4{\rm{x}} + 24}}\) và \(\dfrac{{13}}{{{x^2} - 36}}\)

Cho phân thức \(\frac{{3x + 6}}{{9{x^2} + 18x}}\).

a)     Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi tìm nhân tử chung của chúng.

b)    Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung để thu được một phân thức bằng phân thức đã cho.

Tìm một mẫu thức chung của hai phân thức \(\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}\) và \(\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}\).

Muốn quy đồng hai phân thức \(\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}\) và \(\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}\) nêu trong luyện tập 1 thì cần nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với đa thức nào?

Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{{x + 1}}{{4{x^3} - 8{x^2}}}\) và \(\frac{{2x - 3}}{{6x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử và tìm mẫu thức chung:

a) \(\frac{{x - 1}}{{3x - 9}}\) và \(\frac{{4x - 8}}{{{x^2} - 9}}\)

b) \(\frac{{2xy}}{{{x^2} + 10xy + 25{y^2}}}\) và \(\frac{{x - y}}{{3{x^2} + 15xy}}.\)

Quy đồng mẫu thức các phân thức:

a)\(\frac{1}{{2a + b}}\) và \(\frac{1}{{2a - b}};\)

b) \(\frac{{x + 1}}{{2x - 8}}\) và \(\frac{{x - 2}}{{16 - {x^2}}}\)

c) \(\frac{{{m^2}}}{{{m^3} - 3{m^2}n + 3m{n^2} - {n^3}}}\) và \(\frac{n}{{mn - {m^2}}}\)

d) \(\frac{1}{{x + 2}},\frac{{ - 5}}{{2x - 4}}\) và \(\frac{{10}}{x}\).

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\frac{2}{{15{x^3}{y^2}}};\frac{y}{{10{x^4}{z^3}}}\) và \(\frac{x}{{20{y^3}z}}\)

b) \(\frac{x}{{2x + 6}}\) và \(\frac{4}{{{x^2} - 9}}\)

c) \(\frac{{2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

d) \(\frac{x}{{1 + 2x + {x^2}}}\) và \(\frac{3}{{5{x^2} - 5}}\)

Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:

a) \(\frac{{3x}}{{2x - 1}}\) và \(\frac{3}{{2x + 1}}\);

b) \(\frac{1}{{xy + x}}\) và \(\frac{y}{{xy - x}}\);

c) \(\frac{{xy}}{{2x + 2y}}\) và \(\frac{{x - y}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\);

d) \(\frac{1}{{x - 1}};\frac{{2x}}{{x + 1}}\) và \(\frac{{1 - 2x}}{{{x^2} - 1}}\).

Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức trên bàng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất. 

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng, ta được các phân thức có mẫu thức là MTC đã chọn

Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2} - 3}}\) và \(\frac{1}{{{x^3} - 1}}\)

Tròn: hai phân thức \(\frac{5}{{x - 1}}\) và \(\frac{x}{{1 - x}}\) có MTC là x – 1

Vuông: Không đúng, MTC là (x – 1)(1 – x)

Theo em, bạn nào chọn MTC hợp lí hơn? Vì sao?

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \(\frac{1}{{{x^3} - 8}}\) và \(\frac{3}{{4 - 2{\rm{x}}}}\)

b) \(\frac{x}{{{x^2} - 1}}\) và \(\frac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\)

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \(\frac{1}{{x + 2}};\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 4}};\frac{5}{{2 - x}}\)

b) \(\frac{1}{{3{\rm{x}} + 3y}};\frac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} - {y^2}}};\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{{x^2} - 2{\rm{x}}y + {y^2}}}\)

Cho hai phân thức: \(\frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 1}}{{27{{\rm{x}}^3} - 1}}\) và \(\frac{{{x^2} - 4{\rm{x}}}}{{16 - {x^2}}}\)

a) Rút gọn hai phân thức đã cho

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a)

Quy đồng mẫu thức các phần thức sau:

\(a)\frac{1}{{4{\rm{x}}{y^2}}}\) và \(\frac{5}{{6{{\rm{x}}^2}y}}\);

\(b)\frac{9}{{4{{\rm{x}}^2} - 36}}\) và \(\frac{1}{{{x^2} + 6{\rm{x}} + 9}}\).

Cho hai phân thức \(\frac{{{x^2} + 5{\rm{x}}}}{{(x - 10)({x^2} + 10{\rm{x}} + 25)}}\)và \(\frac{{{x^2} + 10{\rm{x}}}}{{{x^4} - 100{{\rm{x}}^2}}}\)

a) Rút gọn hai phân thức đã cho. Kí hiệu P và Q là hai phân thức nhận được.

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức P và Q.

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \(\frac{{25}}{{14{x^2}y}}\) và \(\frac{{14}}{{21x{y^5}}}\);

b) \(\frac{{4x - 4}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\) và \(\frac{{x - 3}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}\)

Tìm mẫu thức chung của ba phân thức sau: \(\frac{1}{{{x^2} - x}};\frac{x}{{1 - {x^3}}}\) và \(\frac{{ - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

Quy đồng mẫu thức ba phân thức đã cho với mẫu thức chung tìm được

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \(\frac{1}{{{x^2}y}};\frac{1}{{{y^2}z}}\) và \(\frac{1}{{{z^2}x}}\)

b) \(\frac{1}{{1 - x}};\frac{1}{{x + 1}}\) và \(\frac{1}{{{x^2} + 1}}\)

Cho các số x, y, z thỏa mãn \(x + y + z = 0\) và \(x \ne 0;y \ne z.\) Hãy rút gọn phân thức \(\frac{x}{{{y^2} - {z^2}}}\)