Xét các phân thức \(P = \dfrac{{{x^2}y}}{{x{y^2}}}\), \(Q = \dfrac{x}{y}\), \(R = \dfrac{{{x^2} + xy}}{{xy + {y^2}}}\) .
a) Các phân thức trên có bằng nhau không? Tại sao?
b) Có thể biến đổi như thế nào nếu chuyển \(Q\) thành \(P\) và \(R\) thành \(Q\).
a) Sử dụng kiến thức: \(\dfrac{A}{B}\) \( = \dfrac{C}{D}\) nếu \(AD = BC\) để kiểm tra xem các phân thức trên có bằng nhau hay không?
b) Nhân hoặc cả tử và mẫu của đa thức \(Q\) cho \(xy\); chia cả tử và mẫu của đa thức của \(R\) cho \(x + y\)
a) Ta có:
\({x^2}y.y = {x^2}{y^2}\)
\(x{y^2}.x = {x^2}{y^2}\)
Do đó\({x^2}y.y = x{y^2}.x\)
Vậy \(P = Q\) (1)
Ta có:
\(x.\left( {xy + {y^2}} \right) = {x^2}y + x{y^2}\)
\(y.\left( {{x^2} + xy} \right) = {x^2}y + x{y^2}\)
Do đó \(x.\left( {xy + {y^2}} \right) = y.\left( {{x^2} + xy} \right)\)
Vậy \(Q = R\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(P = Q = R\)
b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(Q\) với \(xy\) để chuyển \(Q\) thành \(P\), ta được: \(Q = \dfrac{x}{y} = \dfrac{{x.xy}}{{y.xy}} = \dfrac{{{x^2}y}}{{x{y^2}}}\)
Phân thức cả tử và mẫu của phân thức \(R\) thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu của phân thức \(R\) cho nhân tử chung \(x + y\) để chuyển \(R\) thành \(Q\), ta được: \(R = \dfrac{{{x^2} + xy}}{{xy + {y^2}}} = \dfrac{{x.\left( {x + y} \right)}}{{y.\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{x.\left( {x + y} \right):\left( {x + y} \right)}}{{y.\left( {x + y} \right):\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{x}{y}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Chứng tỏ hai phân thức \(\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}b + a{b^2}}}\) và \(\dfrac{{a - b}}{{ab}}\) bằng nhau theo hai cách khác nhau.
Tìm đa thức thích hợp thay vào ? trong các đẳng thức sau:
Cho hai phân thức \(\dfrac{1}{{{x^2}y}}\) và \(\dfrac{1}{{x{y^2}}}\)
a) Hãy nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y và nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x.
b) Nhân xét gì về mẫu của hai phân thức thu được.
Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\dfrac{5}{{2{{\rm{x}}^2}{y^3}}}\) và \(\dfrac{3}{{x{y^4}}}\)
b) \(\dfrac{3}{{2{{\rm{x}}^2} - 10{\rm{x}}}}\) và \(\dfrac{2}{{{x^2} - 25}}\)
Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\dfrac{2}{{x - 3y}}\) và \(\dfrac{3}{{x + 3y}}\)
\(b)\dfrac{7}{{4{\rm{x}} + 24}}\) và \(\dfrac{{13}}{{{x^2} - 36}}\)
Cho phân thức \(\frac{{3x + 6}}{{9{x^2} + 18x}}\).
a) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi tìm nhân tử chung của chúng.
b) Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung để thu được một phân thức bằng phân thức đã cho.
Cho hai phân thức \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{1}{{x + 1}}\).
a) Tìm đa thức thích hợp cho mỗi ô ?
\(\frac{1}{x} = \frac{?}{{x\left( {x + 1} \right)}};\)
\(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{?}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\)
b) Em có nhận xét gì về mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức trong câu a?
Tìm một mẫu thức chung của hai phân thức \(\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}\) và \(\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}\).
Muốn quy đồng hai phân thức \(\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}\) và \(\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}\) nêu trong luyện tập 1 thì cần nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với đa thức nào?
Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{{x + 1}}{{4{x^3} - 8{x^2}}}\) và \(\frac{{2x - 3}}{{6x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
Phân tích các mẫu thức thành nhân tử và tìm mẫu thức chung:
a) \(\frac{{x - 1}}{{3x - 9}}\) và \(\frac{{4x - 8}}{{{x^2} - 9}}\)
b) \(\frac{{2xy}}{{{x^2} + 10xy + 25{y^2}}}\) và \(\frac{{x - y}}{{3{x^2} + 15xy}}.\)
Quy đồng mẫu thức các phân thức:
a)\(\frac{1}{{2a + b}}\) và \(\frac{1}{{2a - b}};\)
b) \(\frac{{x + 1}}{{2x - 8}}\) và \(\frac{{x - 2}}{{16 - {x^2}}}\)
c) \(\frac{{{m^2}}}{{{m^3} - 3{m^2}n + 3m{n^2} - {n^3}}}\) và \(\frac{n}{{mn - {m^2}}}\)
d) \(\frac{1}{{x + 2}},\frac{{ - 5}}{{2x - 4}}\) và \(\frac{{10}}{x}\).
Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\frac{2}{{15{x^3}{y^2}}};\frac{y}{{10{x^4}{z^3}}}\) và \(\frac{x}{{20{y^3}z}}\)
b) \(\frac{x}{{2x + 6}}\) và \(\frac{4}{{{x^2} - 9}}\)
c) \(\frac{{2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)
d) \(\frac{x}{{1 + 2x + {x^2}}}\) và \(\frac{3}{{5{x^2} - 5}}\)
Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:
a) \(\frac{{3x}}{{2x - 1}}\) và \(\frac{3}{{2x + 1}}\);
b) \(\frac{1}{{xy + x}}\) và \(\frac{y}{{xy - x}}\);
c) \(\frac{{xy}}{{2x + 2y}}\) và \(\frac{{x - y}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\);
d) \(\frac{1}{{x - 1}};\frac{{2x}}{{x + 1}}\) và \(\frac{{1 - 2x}}{{{x^2} - 1}}\).
Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{2}{x^2y}\) và \(\frac{3}{xy^2}\) ta được mẫu thức chung là
Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức trên bàng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:
- Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);
- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng, ta được các phân thức có mẫu thức là MTC đã chọn
Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2} - 3}}\) và \(\frac{1}{{{x^3} - 1}}\)
Tròn: hai phân thức \(\frac{5}{{x - 1}}\) và \(\frac{x}{{1 - x}}\) có MTC là x – 1
Vuông: Không đúng, MTC là (x – 1)(1 – x)
Theo em, bạn nào chọn MTC hợp lí hơn? Vì sao?
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) \(\frac{1}{{{x^3} - 8}}\) và \(\frac{3}{{4 - 2{\rm{x}}}}\)
b) \(\frac{x}{{{x^2} - 1}}\) và \(\frac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\)
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) \(\frac{1}{{x + 2}};\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 4}};\frac{5}{{2 - x}}\)
b) \(\frac{1}{{3{\rm{x}} + 3y}};\frac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} - {y^2}}};\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{{x^2} - 2{\rm{x}}y + {y^2}}}\)
Cho hai phân thức: \(\frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 1}}{{27{{\rm{x}}^3} - 1}}\) và \(\frac{{{x^2} - 4{\rm{x}}}}{{16 - {x^2}}}\)
a) Rút gọn hai phân thức đã cho
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a)
Quy đồng mẫu thức các phần thức sau:
\(a)\frac{1}{{4{\rm{x}}{y^2}}}\) và \(\frac{5}{{6{{\rm{x}}^2}y}}\);
\(b)\frac{9}{{4{{\rm{x}}^2} - 36}}\) và \(\frac{1}{{{x^2} + 6{\rm{x}} + 9}}\).
Cho hai phân thức \(\frac{{{x^2} + 5{\rm{x}}}}{{(x - 10)({x^2} + 10{\rm{x}} + 25)}}\)và \(\frac{{{x^2} + 10{\rm{x}}}}{{{x^4} - 100{{\rm{x}}^2}}}\)
a) Rút gọn hai phân thức đã cho. Kí hiệu P và Q là hai phân thức nhận được.
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức P và Q.
Khi quy đồng mẫu hai phân thức \(\frac{1}{{{x^2} - 16}}\) và \(\frac{1}{{x + 4}}\) được kết quả nào sau đây?
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) \(\frac{{25}}{{14{x^2}y}}\) và \(\frac{{14}}{{21x{y^5}}}\);
b) \(\frac{{4x - 4}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\) và \(\frac{{x - 3}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}\)
Tìm mẫu thức chung của ba phân thức sau: \(\frac{1}{{{x^2} - x}};\frac{x}{{1 - {x^3}}}\) và \(\frac{{ - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)
Quy đồng mẫu thức ba phân thức đã cho với mẫu thức chung tìm được
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) \(\frac{1}{{{x^2}y}};\frac{1}{{{y^2}z}}\) và \(\frac{1}{{{z^2}x}}\)
b) \(\frac{1}{{1 - x}};\frac{1}{{x + 1}}\) và \(\frac{1}{{{x^2} + 1}}\)
Cho các số x, y, z thỏa mãn \(x + y + z = 0\) và \(x \ne 0;y \ne z.\) Hãy rút gọn phân thức \(\frac{x}{{{y^2} - {z^2}}}\)
