Đề bài

Biểu đồ sau mô tả kết quả điều tra về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A và B.

a) Hãy xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?
c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?

Phương pháp giải

Khi biểu diễn mẫu số liệu liên tục bởi biểu đồ tần số có dạng cột, các cột thường được vẽ kề nhau. Ta quy ước: cột có đầu mút trái là a và có đầu mút phải là b trên trục hoành biểu diễn cho tần số của nhóm [a; b). Giá trị đại diện của nhóm [a; b) là \(c = \frac{1}{2}(a + b)\)

Khoảng tứ phân vị nhỏ hơn thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương đó đồng đều hơn

Độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương đó đồng đều hơn

Lời giải của GV Loigiaihay.com

b) Cỡ mẫu: \({n_A} = 18\)

Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{18}}\) là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1};...;{x_4} \in [5;6)\); \({x_5};...;{x_9} \in [6;7)\);\({x_{10}};...;{x_{12}} \in [7;8)\);\({x_{12}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{16}} \in [8;9)\);\({x_{17}};{\rm{ }}{x_{18}} \in [9;10)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_5} \in [6;7)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{18}}{4} - 4}}{5}(7 - 6) = 6,1\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{14}} \in [8;9)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 8 + \frac{{\frac{{3.18}}{4} - (4 + 5 + 3)}}{4}(9 - 8) = 8,375\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 2,275\)

Cỡ mẫu: \({n_B} = 15\)

Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{15}}\) là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({y_1};{y_2} \in [5;6)\); \({y_3};...;{y_7} \in [6;7)\);\({y_8};...;{y_{11}} \in [7;8)\);\({y_{12}};...;{y_{14}} \in [8;9)\); \({y_{15}} \in [9;10)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({y_4} \in [6;7)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 6 + \frac{{\frac{{15}}{4} - 2}}{5}(7 - 6) = 6,35\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{12}} \in [8;9)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 8 + \frac{{\frac{{3.15}}{4} - (2 + 5 + 4)}}{3}(9 - 8) = 8,08\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = 1,73\)

Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn

c) Xét số liệu của trường A:

Số trung bình: \(\overline {{x_X}} = \frac{{4.5,5 + 5.6,5 + 3.7,5 + 4.8,5 + 2.9,5}}{{18}} = 7,22\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _X} = \sqrt {\frac{{4.5,{5^2} + 5.6,{5^2} + 3.7,{5^2} + 4.8,{5^2} + 2.9,{5^2}}}{{18}} - 7,{{22}^2}} \approx 1,79\)

Xét số liệu của trường B:

Số trung bình: \(\overline {{x_Y}} = \frac{{2.5,5 + 5.6,5 + 4.7,5 + 3.8,5 + 1.9,5}}{{15}} = 7,23\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _Y} = \sqrt {\frac{{2.5,{5^2} + 5.6,{5^2} + 4.7,{5^2} + 3.8,{5^2} + 1.9,{5^2}}}{{15}} - 7,{{23}^2}} \approx 1,31\)

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn

Xem thêm : SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho bài toán trong tình huống mở đầu và cho biết có cần đưa máy đi sửa chữa hay không.