Tuổi thọ của một số linh kiện điện tử (đơn vị: năm) được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho như sau:
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về độ phân tán của tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi mỗi phân xưởng.
Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({s^2}\), là một số được tính theo công thức sau: \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}\), trong đó \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) với \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \)
Sử dụng kiến thức về ý nghĩa của độ lệch chuẩn để nhận xét: Độ lệch chuẩn dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện:
Phân xưởng 1: Tổng số linh kiện: \(4 + 9 + 13 + 8 + 6 = 40\)
Giá trị trung bình \(\overline {{x_1}} = \frac{{1,75.4 + 2,25.9 + 2,75.13 + 3,25.8 + 3,75.6}}{{4 + 9 + 13 + 8 + 6}} = \frac{{223}}{{80}}\)
Phương sai: \(s_1^2 = \frac{1}{{40}}\left( {1,{{75}^2}.4 + 2,{{25}^2}.9 + 2,{{75}^2}.13 + 3,{{25}^2}.8 + 3,{{75}^2}.6} \right) - {\left( {\frac{{223}}{{80}}} \right)^2} = \frac{{2271}}{{6400}}\)
Độ lệch chuẩn: \({s_1} = \sqrt {\frac{{2271}}{{6400}}} \approx 0,6\)
Phân xưởng 2: Tổng số linh kiện: \(2 + 8 + 20 + 7 + 3 = 40\)
Giá trị trung bình \(\overline {{x_2}} = \frac{{1,75.2 + 2,25.8 + 2,75.20 + 3,25.7 + 3,75.3}}{{2 + 8 + 20 + 7 + 3}} = \frac{{221}}{{80}}\)
Phương sai: \(s_2^2 = \frac{1}{{40}}\left( {1,{{75}^2}.2 + 2,{{25}^2}.8 + 2,{{75}^2}.20 + 3,{{25}^2}.7 + 3,{{75}^2}.3} \right) - {\left( {\frac{{221}}{{80}}} \right)^2} = \frac{{1399}}{{6400}}\)
Độ lệch chuẩn: \({s_2} = \sqrt {\frac{{1399}}{{6400}}} \approx 0,47\)
Vì \(0,6 > 0,47\) nên độ phân tán của phân xưởng 1 lớn hơn độ phân tán của phân xưởng 2.
Các bài tập cùng chuyên đề
Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho bài toán trong tình huống mở đầu và cho biết có cần đưa máy đi sửa chữa hay không.
Một vận động viên luyện tập chạy cự li 100m đã ghi lại kết quả luyện tập như sau:
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này. Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết điều gì?
Kiểm tra khối lượng của 30 bao xi măng (đơn vị: kg) được chọn ngẫu nhiên trước khi xuất xưởng cho kết quả như sau:
a) Thay dấu “?” bằng số thích hợp để hoàn thiện mẫu số liệu ghép nhóm sau.
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?
Để đánh giá chất lượng một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả như sau:
Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Người ta ghi lại tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) của một số nhà đầu tư (với số tiền đầu tư như nhau), khi đầu tư vào hai lĩnh vực A, B cho kết quả như sau:
a) Về trung bình, đầu tư vào lĩnh vực nào đem lại tiền lãi cao hơn?
b) Tính độ lệch chuẩn cho các mẫu số liệu về tiền lãi của các nhà đầu tư ở hai lĩnh vực này và giải thích ý nghĩa của các số thu được.
Thành tích môn nhảy cao của các vận động viên tại một giải điền kinh dành cho học sinh trung học phổ thông như sau:
a) Tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết điều gì?
Thống kê thời gian trong tuần dành cho đọc sách của một số nhân viên trong một công ty được cho trong bảng sau:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A. 13.
B. 10.
C. 8.
D. 6.
b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
A. 1,99.
B. 2,02.
C. 3,97.
D. 4,09.
Bảng tần số sau đây là dữ liệu thu được trên một lớp học. Hãy thực hiện HĐ3 cho mẫu số liệu này.
Bảng 22, Bảng 23 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2021 tại Hà Nội và Huế (đơn vị: độ C)
a) Tính khoảng biến thiên, khoàng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của Hà Nội và Huế.
b) Trong hai thành phố Hà Nội và Huế, thành phố nào có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn?
Bảng 24 thống kê độ ẩm không khí tủng bình các tháng năm 2021 tại Đà Lạt và Vũng Tàu (đơn vị: %)
a) Hãy lần lượt ghép các số liệu của Đà Lạt, Vũng Tàu thành năm nhóm sau:
[75;78,3), [78,3;81,6), [81,6;84,9), [84,9;88,2),[88,2;91,5)
b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của Đà Lạt và Vũng Tàu
c) Trong hai thành phố Đà Lạt và Vũng Tàu, thành phố nào có độ ẩm không khí trung bình tháng đồng đều hơn?
Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau:
a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42; 46) và độ dài mỗi nhóm bằng 4.
c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.
Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ bên.
a) Hãy cho biết có bao nhiêu máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ?
b) Hãy xác định số trung bình và độ lệch chuẩn của thời gian sử dụng pin.
Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là
A. 1,5.
B. 0,9.
C. 0,6.
D. 0,3.
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
A. 0,9.
B. 0,975.
C. 0,5.
D. 0,575.
c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
A. 3,39.
B. 11,62.
C. 0,1314.
D. 0,36.
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. 3,41.
B. 11,62.
C. 0,017.
D. 0,36.
Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là
A. 25.
B. 20.
C. 15.
D. 30.
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
A. 23,75.
B. 27,5.
C. 31,88.
D. 8,125.
c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. 31,77.
B. 32.
C. 31.
D. 31,44.
Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:
Hãy xác định khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên
Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh hoạ ở biểu đồ sau.
a) Có bao nhiêu thửa ruộng đã được khảo sát?
b) Lập bảng tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm tương ứng của mẫu số liệu trên.
c) Hãy xác định khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:
a) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường nào viết nhanh hơn?
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?
c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?
Khoảng tứ phân vị nhỏ hơn thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương đó đồng đều hơn
Độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương đó đồng đều hơn
Biểu đồ sau mô tả kết quả điều tra về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A và B.
a) Hãy xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?
c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?
Dũng là học sinh rất giỏi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần tập luyện giải khối rubik 3×3, bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm nhận giá trị nào trong các giá trị dưới đây?
A. 6.
B. 8.
C. 10.
D. 12.
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
A. 10,75.
B. 1,75.
C. 3,63.
D. 14,38.
c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. 5,98.
B. 6.
C. 2,44.
D. 2,5.
Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trường X là
Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trường Y là
Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trường Y là
Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm số năm ở Nha Trang là
Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm số năm ở Nha Trang là
Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm số năm ở Quy Nhơn là
Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trường X là
Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm số năm ở Quy Nhơn là
Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
