Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y,z\) thỏa mãn:
\(\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2}\)và \(200 < {y^2} + {z^2} < 450\).
Biến đổi \(\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2}\) thành \(\frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{8y - 6z}}{4}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để suy ra \(\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2} = 0\)
Từ đó ta có \(6z = 12x = 8y\).
Đặt \(6z = 12x = 8y = 24k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( {2k;3k;4k} \right)\)
Tìm k dựa vào \(200 < {y^2} + {z^2} < 450\)
Từ đó tính được x, y, z.
Ta có \(\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2}\) nên
\(\begin{array}{l}\frac{{3\left( {z - 4x} \right)}}{{3.3}} = \frac{{4\left( {3x - 2y} \right)}}{{4.4}} = \frac{{2\left( {4y - 3z} \right)}}{{2.2}}\\\frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{8y - 6z}}{4}\end{array}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{8y - 6z}}{4} = \frac{{6z - 12x + 12x - 8y + 8y - 6z}}{{9 + 16 + 4}} = \frac{0}{{29}} = 0\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}6z - 12x = 0\\12x - 8y = 0\\8y - 6z = 0\end{array} \right.\) hay \(6z = 12x = 8y\).
Đặt \(6z = 12x = 8y = 24k\left( {k > 0} \right)\) ta được \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {2k;3k;4k} \right)\)
Theo giả thiết \(200 < {y^2} + {z^2} < 450\) hay \(200 < 9{k^2} + 16{k^2} < 450\)
suy ra \(200 < 25{k^2} < 450 \Rightarrow k \in \left\{ {3;4} \right\}\)
Từ đó tìm được \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {6;9;12} \right);\left( {8;12;16} \right)} \right\}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
a) Tính giá trị của biểu thức \(A = (2x + y)(2x - y)\) tại \(x = - 2,\;y = \frac{1}{3}.\)
b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) thoả mãn \(x(3x - 2) - 3{x^2} = \frac{3}{4}.\)
Học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C làm 40 tấm thiệp để chúc mừng các thầy cô nhân ngày 20-11, biết số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là 45; 42; 33. Hỏi trong ba lớp trên mỗi lớp làm bao nhiêu tấm thiệp, biết số học sinh tỉ lệ với số thiệp cần làm.
Cho hai đa thức \(A\left( x \right) = 5{x^4} - 7{x^2} - 3x - 6{x^2} + 11x - 30\) và \(B\left( x \right) = - 11{x^3} + 5x - 10 + 13{x^4} - 2 + 20{x^3} - 34x\)
a) Thu gọn hai đa thức \(A\left( x \right)\) và \(B\left( x \right)\) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ \(BH \bot AC;CK \bot AB\) (\(H \in AC;\,\)\(K \in AB\)).
a) Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân
b) Gọi I là giao của BH và CK; AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của \(\widehat {BIC}\).
c) Chứng minh: \(HK\,{\rm{//}}\,BC\).
Trong các công thức sau, công thức nào phát biểu: “Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 2”?
Biểu thức đại số biểu diễn công thức tính diện tích hình thang có 2 đáy độ dài a, b; chiều cao h ( a, b, h có cùng đơn vị đo độ dài)
Giá trị của đa thức \(g\left( x \right) = {x^8}{\rm{ + }}{x^4} + {x^2} + 1\) tại \(x = - 1\) bằng
Gieo một đồng xu cân đối, đồng chất 1 lần. Xác suất của biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” là
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat B = {65^0}.\) Chọn khẳng định đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có AM là đường trung tuyến, trọng tâm \(G\). Khẳng định nào sau đây đúng?
