Lý thuyết phương trình đường thẳng


Vectơ chỉ phương của đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa : 

vectơ \(\vec{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu \(\vec{u}\) ≠ \(\vec{0}\) và giá của \(\vec{u}\) song song hoặc trùng với ∆

Nhận xét :

- Nếu \(\vec{u}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k\(\vec{u}\) ( k≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆ , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và nhận vectơ \(\vec{u}\)  = (u1 ; u2) làm vectơ chỉ phương là :

∆ : \(\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\)

-Khi hệ số u≠ 0 thì tỉ số k= \(\frac{u_{1}}{u_{2}}\) được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và có hệ số góc k là:

y – y0 = k(x – x0)

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc k = tanα với góc α là góc của đường thẳng ∆ hợp với chiều dương của trục Ox

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 

Định nghĩa: Vectơ \(\vec{n}\) được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu \(\vec{n}\)  ≠ \(\vec{0}\) và \(\vec{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆

Nhận xét:

- Nếu \(\vec{n}\)  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k\(\vec{n}\) (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.

- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng.

Trường hợp đặc biết:

+  Nếu a = 0 => y = \(\frac{-c}{b}\);  ∆ // Ox

+ Nếu b = 0 => x = \(\frac{-c}{a}\); ∆ // Oy

+ Nếu c = 0 => ax + by = 0 =>  ∆ đi qua gốc tọa độ

+ Nếu ∆ cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B (0; b) thì ta có phương trình đường thẳng ∆ theo đoạn chắn:

                \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 1

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng  ∆1 và ∆

có phương trình tổng quát lần lượt là :

a1x+b1y + c1 = 0 và a 2+ b2y +c2 = 0

Điểm M0(x0 ;y0) là điểm chung của  ∆và ∆2  khi và chỉ khi (x0 ;y0) là nghiệm của hệ hai phương trình:

(1)  \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2y}+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\) 

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆cắt ∆2

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆// ∆2

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆= ∆2

6.Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆và ∆cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆không vuông góc với ∆2thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆và ∆2. Nếu ∆vuông góc với  ∆thì ta nói góc giữa ∆và ∆2bằng  900  .Trường hợp  ∆và ∆song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa  ∆và ∆bằng 00. Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng  900  

Góc giữa hai đường thẳng ∆và ∆được kí hiệu là \(\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\)

Cho hai đường thẳng  ∆= a1x+b1y + c1 = 0 

                               ∆=  a 2+ b2y +c2 = 0

Đặt \(\varphi\) = \(\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\)

                  cos  \(\varphi\) = \(\frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)

Chú ý:

+  ∆ ⊥ ∆<=> n1 ⊥  n2  <=> a1a2+ b1b2 = 0

+ Nếu ∆và ∆có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + mthì  

 ⊥ ∆<=>  k1.k2 = -1.

7.Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax+by + c = 0 và điểm M0(x0 ;y0).Khoảng cách từ điểm Mđến đường thẳng  ∆ kí hiệu là (M0 ;∆), được tính bởi công thức

                     d(M0 ;∆) = \(\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

>>>>> Học tốt lớp 11 các môn Toán, Lý, Anh, Hóa năm 2018 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu